§9.prop.12ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ ἔσχατος πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μονάδα μετρηθήσεται.
如果从单位开始任意多个数连续成比例，那么最后一个数被多少个素数度量，单位后面的数也同样被这些素数度量。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται.
设从单位开始连续比例的任意多个数为 Α、Β、Γ、Δ；我声称，Δ 被多少个素数度量，Α 也同样被这些素数度量。
μετρείσθω γὰρ ὁ Δ ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ τοῦ Ε· λέγω, ὅτι ὁ ε τὸν Α μετρεῖ.
因为设 Δ 被某个素数 Ε 度量；我声称， Ε 度量 Α。
μὴ γάρ· καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος, ἅπας δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν· οἱ Ε, Α ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
如果不度量；且 Ε 是素数，而每一个素数对于它所不度量的任何数都是互素的；因此 Ε 与 Α 互素。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ· ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
由于 Ε 度量 Δ，设它按 Ζ 度量它；因此 Ε 乘以 Ζ 得到了 Δ。
πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
再者，由于 Α 按照 Γ 中的单位数度量 Δ，因此 Α 乘以 Γ 得到了 Δ。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
但是 Ε 乘以 Ζ 也得到了 Δ；因此 Α 与 Γ 的乘积等于 Ε 与 Ζ 的乘积。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Γ. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η· ὁ Ε ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
因此，Α 对 Ε 就像 Ζ 对 Γ。 但 Α 与 Ε 互素，而互素的数也是最小的，最小的数以相同的次数度量具有相同比的数，前项度量前项，后项度量后项；因此 Ε 度量 Γ。 设它按 Η 度量它；因此 Ε 乘以 Η 得到了 Γ。
ἀλλὰ μὴν διὰ τὸ πρὸ τούτου καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
但是根据前一命题，Α 乘以 Β 也得到了 Γ。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Η. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Β. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ· ὁ Ε ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
因此 Α 与 Β 的乘积等于 Ε 与 Η 的乘积。 因此，Α 对 Ε 就像 Η 对 Β。 但 Α 与 Ε 互素，而互素的数也是最小的，最小的数以相同的次数度量与它们具有相同比的数，前项度量前项，后项度量后项；因此 Ε 度量 Β。 设它按 Θ 度量它；因此 Ε 乘以 Θ 得到了 Β。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Θ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Α ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
但是 Α 乘以自身也得到了 Β；因此 Ε 与 Θ 的乘积等于 Α 的平方。 因此，Ε 对 Α 就像 Α 对 Θ。 但 Α 与 Ε 互素，而互素的数也是最小的，最小的数以相同的次数度量具有相同比的数，前项度量前项，后项度量后项；因此 Ε 作为前项度量前项 Α。
ἀλλὰ μὴν καὶ οὐ μετρεῖ· ὅπερ ἀδύνατον.
但是［假定］它也不度量 Α；这是不可能的。
οὐκ ἄρα οἱ Ε, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
因此 Ε 与 Α 并非互素。
σύνθετοι ἄρα.
因此它们是合数。
οἱ δὲ σύνθετοι ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετροῦνται.
而合数被某个数度量。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρῶτος ὑπόκειται, ὁ δὲ πρῶτος ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ οὐ μετρεῖται ἢ ὑφʼ ἑαυτοῦ, ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Ε μετρεῖ· ὥστε ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ.
由于 Ε 被假定为素数，而素数除了自身之外不被任何其他数度量，因此 Ε 度量 Α 与 Ε；所以 Ε 度量 Α。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Δ· ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Δ μετρεῖ.
但它也度量 Δ；因此 Ε 度量 Α 与 Δ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
同样地，我们将证明，Δ 被多少个素数度量，Α 也同样被这些素数度量；这即是所要求证的。