§9.prop.12ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ ἔσχατος πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μονάδα μετρηθήσεται.
만일 단위로부터 임의의 개수의 수들이 계속하여 비례하면, 마지막 수가 임의의 소수들에 의해 측정되는 만큼, 단위 다음의 수도 같은 소수들에 의해 측정될 것이다.
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ·
단위로부터 임의의 개수의 비례하는 수들을 Α, Β, Γ, Δ라고 하자.
λέγω, ὅτι ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται.
나는 Δ가 임의의 소수들에 의해 측정되는 만큼, Α도 같은 소수들에 의해 측정될 것이라고 주장한다.
μετρείσθω γὰρ ὁ Δ ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ τοῦ Ε·
왜냐하면 Δ가 어떤 소수 Ε에 의해 측정된다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ ε τὸν Α μετρεῖ.
나는 Ε가 Α를 측정한다고 주장한다.
μὴ γάρ·
그렇지 않다고 하자.
καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος, ἅπας δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν·
그런데 Ε는 소수이고, 모든 소수는 자신이 측정하지 않는 모든 수에 대하여 서로 소이다.
οἱ Ε, Α ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 Ε, Α는 서로 소이다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ·
그리고 Ε는 Δ를 측정하므로, 그것을 Ζ를 몫으로 하여 측정한다고 하자.
ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
그러므로 Ε는 Ζ를 곱하여 Δ를 만들었다.
πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
다시, Α는 Δ를 Γ 안에 있는 단위들의 수만큼 측정하므로, 그러므로 Α는 Γ를 곱하여 Δ를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
그런데 Ε도 Ζ를 곱하여 Δ를 만들었다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
그러므로 Α, Γ의 곱은 Ε, Ζ의 곱과 같다. 그러므로 Α의 Ε에 대한 비는 Ζ의 Γ에 대한 비와 같다. 그런데 Α, Ε는 서로 소이고, 서로 소인 수들은 또한 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 자신과 같은 비를 가진 수들을 같은 횟수만큼 측정하되 선행항은 선행항을, 후행항은 후행항을 측정한다.
μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Γ. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η·
그러므로 Ε는 Γ를 측정한다. 그것을 Η를 몫으로 하여 측정한다고 하자.
ὁ Ε ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
그러므로 Ε는 Η를 곱하여 Γ를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν διὰ τὸ πρὸ τούτου καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
그런데 앞서 증명한 명제에 의해 Α도 Β를 곱하여 Γ를 만들었다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Η. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Β. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
그러므로 Α, Β의 곱은 Ε, Η의 곱과 같다. 그러므로 Α의 Ε에 대한 비는 Η의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Α, Ε는 서로 소이고, 서로 소인 수들은 또한 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 자신과 같은 비를 가진 수들을 같은 횟수만큼 측정하되 선행항은 선행항을, 후행항은 후행항을 측정한다.
μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ·
그러므로 Ε는 Β를 측정한다. 그것을 Θ를 몫으로 하여 측정한다고 하자.
ὁ Ε ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
그러므로 Ε는 Θ를 곱하여 Β를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν·
그런데 Α도 자신을 곱하여 Β를 만들었다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Θ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
그러므로 Ε, Θ의 곱은 Α의 제곱과 같다. 그러므로 Ε의 Α에 대한 비는 Α의 Θ에 대한 비와 같다. 그런데 Α, Ε는 서로 소이고, 서로 소인 수들은 또한 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 자신과 같은 비를 가진 수들을 같은 횟수만큼 측정하되 선행항은 선행항을, 후행항은 후행항을 측정한다.
μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Α ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
그러므로 Ε는 선행항으로서 선행항 Α를 측정한다.
ἀλλὰ μὴν καὶ οὐ μετρεῖ·
그런데 또한 ［Ε는 Α를］ 측정하지 않는다고 하였다.
ὅπερ ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα οἱ Ε, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 Ε, Α는 서로 소가 아니다.
σύνθετοι ἄρα.
그러므로 이들은 서로 합성 관계에 있다.
οἱ δὲ σύνθετοι ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετροῦνται.
그런데 서로 합성 관계에 있는 수들은 어떤 수에 의해 측정된다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρῶτος ὑπόκειται, ὁ δὲ πρῶτος ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ οὐ μετρεῖται ἢ ὑφʼ ἑαυτοῦ, ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Ε μετρεῖ·
그리고 Ε는 소수라고 가정되었고, 소수는 자신 이외의 다른 수에 의해서는 측정되지 않으므로, 그러므로 Ε는 Α, Ε를 측정한다.
ὥστε ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ.
그리하여 Ε는 Α를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Δ·
그런데 ［Ε는］ Δ도 측정한다.
ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Δ μετρεῖ.
그러므로 Ε는 Α, Δ를 측정한다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται·
마찬가지로 우리는 Δ가 임의의 소수들에 의해 측정되는 만큼, Α도 같은 소수들에 의해 측정될 것임을 보일 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.