§9.prop.12ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ ἔσχατος πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μονάδα μετρηθήσεται.
1から任意の個数の数が連続して比例しているならば、最後の数がいかなる素数によって割り切られるとしても、それらと同じ素数によって、1の次の数も割り切られるであろう。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ·
1から任意の個数の比例する数たちを Α, Β, Γ, Δ とせよ。
λέγω, ὅτι ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται.
私は、Δ がいかなる素数によって割り切られるとしても、それらと同じ素数によって Α も割り切られると主張する。
μετρείσθω γὰρ ὁ Δ ὑπό τινος πρώτου ἀριθμοῦ τοῦ Ε·
なぜなら、Δ がある素数 Ε によって割り切られるとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ ε τὸν Α μετρεῖ.
私は、 Ε が Α を割り切ると主張する。
μὴ γάρ·
そうではないとせよ。
καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος, ἅπας δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν·
そして Ε は素数であり、すべての素数は、自身が割り切らないすべての数に対して互いに素である。
οἱ Ε, Α ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
したがって、Ε, Α は互いに素である。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Ζ·
そして、Ε は Δ を割り切るから、これを Ζ を商として割り切るとせよ。
ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
したがって、Ε は Ζ を掛け合わせて Δ を作った。
πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
さらに、Α は Δ を、Γ の中にある単位の数だけ割り切るから、したがって Α は Γ を掛け合わせて Δ を作った。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
ところでまた、Ε も Ζ を掛け合わせて Δ を作った。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Γ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, ὁ Ζ πρὸς τὸν Γ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
したがって、 Α, Γ の積は Ε, Ζ の積に等しい。 したがって、Α の Ε に対する比は、Ζ の Γ に対する比と同じである。 ところで、Α, Ε は互いに素であり、互いに素な数はまた最小であり、最小の数は、それらと同じ比を持つ数を同数回割り切り、先行する数が先行する数を、後行する数が後行する数を割り切る。
μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Γ. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Η·
したがって、Ε は Γ を割り切る。 これを Η を商として割り切るとせよ。
ὁ Ε ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
したがって、Ε は Η を掛け合わせて Γ を作った。
ἀλλὰ μὴν διὰ τὸ πρὸ τούτου καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
ところでまた、前述の命題により、Α も Β を掛け合わせて Γ を作った。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Β ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Ε, Η. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Β. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
したがって、Α, Β の積は Ε, Η の積に等しい。 したがって、Α の Ε に対する比は、Η の Β に対する比と同じである。 ところで、Α, Ε は互いに素であり、互いに素な数はまた最小であり、最小の数は、それらと同じ比を持つ数を同数回割り切り、先行する数が先行する数を、後行する数が後行する数を割り切る。
μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Β. μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Θ·
したがって、Ε は Β を割り切る。 これを Θ を商として割り切るとせよ。
ὁ Ε ἄρα τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
したがって、Ε は Θ を掛け合わせて Β を作った。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν·
ところでまた、Α も自身を掛け合わせて Β を作った。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Ε, Θ ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Α. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Θ. οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
したがって、Ε, Θ の積は Α の平方に等しい。 したがって、Ε の Α に対する比は、Α の Θ に対する比と同じである。 ところで、Α, Ε は互いに素であり、互いに素な数はまた最小であり、最小の数は、それらと同じ比を持つ数を同数回割り切り、先行する数が先行する数を、後行する数が後行する数を割り切る。
μετρεῖ ἄρα ὁ Ε τὸν Α ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
したがって、Ε は Α を、先行する数として先行する数を割り切る。
ἀλλὰ μὴν καὶ οὐ μετρεῖ·
ところでまた、［Ε は Α を］割り切らない［と仮定されていた］。
ὅπερ ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα οἱ Ε, Α πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
したがって、Ε, Α は互いに素ではない。
σύνθετοι ἄρα.
したがって、これらは互いに合成の関係にある。
οἱ δὲ σύνθετοι ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετροῦνται.
ところで、互いに合成の関係にある数たちは、ある数によって割り切られる。
καὶ ἐπεὶ ὁ Ε πρῶτος ὑπόκειται, ὁ δὲ πρῶτος ὑπὸ ἑτέρου ἀριθμοῦ οὐ μετρεῖται ἢ ὑφʼ ἑαυτοῦ, ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Ε μετρεῖ·
そして、Ε は素数であると仮定されており、素数は自分自身以外の他の数によっては割り切られないから、したがって Ε は Α, Ε を割り切る。
ὥστε ὁ Ε τὸν Α μετρεῖ.
それゆえ、Ε は Α を割り切る。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Δ·
ところで、［Ε は］ Δ も割り切る。
ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Δ μετρεῖ.
したがって、Ε は Α, Δ を割り切る。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ὑφʼ ὅσων ἂν ὁ Δ πρώτων ἀριθμῶν μετρῆται, ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ Α μετρηθήσεται·
同様にして、Δ がいかなる素数によって割り切られるとしても、それらと同じ素数によって Α も割り切られることを示すことができる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。