§9.prop.10ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα μὴ ᾖ τετράγωνος, οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων πάντων.
1から任意の個数の数が比例関係にあり、1の次の数が平方数でないならば、1から3番目の数と1つおきのすべての数を除いて、他のいかなる数も平方数にはならない。
καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος μὴ ᾖ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων πάντων.
また、1の次の数が立方数でないならば、1から4番目の数と2つおきのすべての数を除いて、他のいかなる数も立方数にはならない。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α μὴ ἔστω τετράγωνος·
1から連続して比例する任意の個数の数を Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ とし、1の次の数である Α が平方数でないとせよ。
λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος.
私は、1から3番目の数を除いて、他のいかなる数も平方数にはならないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Γ τετράγωνος.
なぜなら、可能ならば、Γ が平方数であるとせよ。
ἔστι δὲ καὶ ὁ Β τετράγωνος·
ところで、Β もまた平方数である。
οἱ Β, Γ ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
したがって、Β, Γ は互いに、平方数の平方数に対する比を持つ。
καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β·
そして、Β の Γ に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。
οἱ Α, Β ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
したがって、Α, Β は互いに、平方数の平方数に対する比を持つ。
ὥστε οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
それゆえ、Α, Β は相似な平面数である。
καί ἐστι τετράγωνος ὁ Β·
ところが、Β は平方数である。
τετράγωνος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α·
したがって、Α もまた平方数である。
ὅπερ οὐχ ὑπέκειτο.
これは仮定に反する。
οὐκ ἄρα ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
したがって、Γ は平方数ではない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνός ἐστι χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων.
同様にして、1から3番目の数と1つおきの数を除いて、他のいかなる数も平方数ではないことを示すことができる。
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ Α κύβος.
次に、Α が立方数でないとせよ。
λέγω, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων.
私は、1から4番目の数と2つおきの数を除いて、他のいかなる数も立方数にはならないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Δ κύβος.
なぜなら、可能ならば、Δ が立方数であるとせよ。
ἔστι δὲ καὶ ὁ Γ κύβος·
ところで、Γ もまた立方数である。
τέταρτος γάρ ἐστιν ἀπὸ τῆς μονάδος.
なぜなら、1から4番目の数だからである。
καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Γ·
そして、Γ の Δ に対する比は、Β の Γ に対する比と同じである。
καὶ ὁ Β ἄρα πρὸς τὸν Γ λόγον ἔχει, ὃν κύβος πρὸς κύβον.
したがって、Β もまた Γ に対して、立方数の立方数に対する比を持つ。
καί ἐστιν ὁ Γ κύβος· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν.
そして、Γ は立方数であるから、したがって Β も立方数である。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας·
そして、単位の Α に対する比は Α の Β に対する比と同じであり、単位は Α を自身の中にある単位の数だけ割り切り、したがって Α も Β を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β πεποίηκεν.
したがって、Α は自身を掛け合わせて立方数である Β を作ったのである。
ἐὰν δὲ ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται.
ところが、ある数が自身を掛け合わせて立方数を作るならば、その数自身も立方数である。
κύβος ἄρα καὶ ὁ Α·
したがって、Α も立方数である。
ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
これは仮定に反する。
οὐκ ἄρα ὁ Δ κύβος ἐστίν.
したがって、Δ は立方数ではない。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἐστὶ χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων·
同様にして、1から4番目の数と2つおきの数を除いて、他のいかなる数も立方数ではないことを示すことができる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.11ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα μετρεῖ κατά τινα τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
1から任意の個数の数が連続して比例しているならば、より小さい数は、その比例関係にある数の中に存在するある数を商として、より大きい数を割り切る。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς Α ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Β, Γ, Δ, Ε·
単位 Α から任意の個数の数が連続して比例する数たちを Β, Γ, Δ, Ε とせよ。
λέγω, ὅτι τῶν Β, Γ, Δ, Ε ὁ ἐλάχιστος ὁ Β τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα τῶν Γ, Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε·
私は、Β, Γ, Δ, Ε のうち最小である Β が、Ε を、Γ, Δ のうちのある数によって割り切ると主張する。 なぜなら、単位 Α の Β に対する比は、Δ の Ε に対する比と同じであるから、したがって、単位 Α が数 Β を割り切る回数と、Δ が Ε を割り切る回数は等しい。
ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Ε. ἡ δὲ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
したがって交互に、単位 Α が Δ を割り切る回数と、Β が Ε を割り切る回数は等しい。
καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
ところが、単位 Α は Δ を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
ὥστε ὁ ἐλάσσων ὁ Β τὸν μείζονα τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα ἀριθμὸν τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
したがって、Β もまた Ε を Δ の中にある単位の数だけ割り切る。 それゆえ、より小さい数 Β は、より大きい数 Ε を、その比例関係にある数の中に存在するある数によって割り切る。
Πόρισμα Καὶ φανερόν, ὅτι ἣν ἔχει τάξιν ὁ μετρῶν ἀπὸ μονάδος, τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ὁ καθʼ ὃν μετρεῖ ἀπὸ τοῦ μετρουμένου ἐπὶ τὸ πρὸ αὐτοῦ.
系そして明らかなことに、割り切る数が単位から持っている順序と同じ順序を、割り切る商もまた、割り切られる数からその手前の数へと遡る順序において持っている。
¯ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。