§9.prop.10ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα μὴ ᾖ τετράγωνος, οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων πάντων.
만일 단위로부터 임의의 개수의 수들이 비례하고, 단위 다음의 수가 제곱수가 아니면, 단위로부터 세 번째 수와 하나씩 거르는 모든 수들을 제외하고는 다른 어떤 수도 제곱수가 아닐 것이다.
καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος μὴ ᾖ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων πάντων.
그리고 만일 단위 다음의 수가 세제곱수가 아니면, 단위로부터 네 번째 수와 두씩 거르는 모든 수들을 제외하고는 다른 어떤 수도 세제곱수가 아닐 것이다。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α μὴ ἔστω τετράγωνος·
단위로부터 계속하여 비례하는 임의의 개수의 수들을 Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ라고 하고, 단위 다음의 수인 Α가 제곱수가 아니라고 하자.
λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος.
나는 단위로부터 세 번째 수를 제외하고는 다른 어떤 수도 제곱수가 아니라고 주장한다。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Γ τετράγωνος.
왜냐하면 가능하다면 Γ가 제곱수라고 하자.
ἔστι δὲ καὶ ὁ Β τετράγωνος·
그런데 Β도 제곱수이다.
οἱ Β, Γ ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 Β와 Γ는 서로 제곱수와 제곱수의 비를 가진다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β·
그리고 Β의 Γ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다.
οἱ Α, Β ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 Α와 Β는 서로 제곱수와 제곱수의 비를 가진다.
ὥστε οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
그러므로 Α와 Β는 닮은 평면수이다.
καί ἐστι τετράγωνος ὁ Β·
그런데 Β는 제곱수이다.
τετράγωνος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α·
그러므로 Α도 제곱수이다.
ὅπερ οὐχ ὑπέκειτο.
이는 가정에 모순된다.
οὐκ ἄρα ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
그러므로 Γ는 제곱수가 아니다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνός ἐστι χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων.
마찬가지로 단위로부터 세 번째 수와 하나씩 거르는 수들을 제외하고는 다른 어떤 수도 제곱수가 아님을 보일 수 있다。
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ Α κύβος.
그런데 이제 Α가 세제곱수가 아니라고 하자.
λέγω, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων.
나는 단위로부터 네 번째 수와 두씩 거르는 수들을 제외하고는 다른 어떤 수도 세제곱수가 아닐 것이라고 주장한다。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Δ κύβος.
왜냐하면 가능하다면 Δ가 세제곱수라고 하자.
ἔστι δὲ καὶ ὁ Γ κύβος·
그런데 Γ도 세제곱수이다.
τέταρτος γάρ ἐστιν ἀπὸ τῆς μονάδος.
왜냐하면 그것은 단위로부터 네 번째 수이기 때문이다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Γ·
그리고 Γ의 Δ에 대한 비는 Β의 Γ에 대한 비와 같다.
καὶ ὁ Β ἄρα πρὸς τὸν Γ λόγον ἔχει, ὃν κύβος πρὸς κύβον.
그러므로 Β도 Γ에 대하여 세제곱수와 세제곱수의 비를 가진다.
καί ἐστιν ὁ Γ κύβος· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν.
그리고 Γ는 세제곱수이므로 그러므로 Β도 세제곱수이다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας·
그리고 단위의 Α에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같고, 단위는 Α를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정하므로, 그러므로 Α도 Β를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β πεποίηκεν.
그러므로 Α는 자신을 곱하여 세제곱수 Β를 만든 것이다.
ἐὰν δὲ ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται.
만일 어떤 수가 자신을 곱하여 세제곱수를 만들면 그 자신도 세제곱수일 것이다.
κύβος ἄρα καὶ ὁ Α·
그러므로 Α도 세제곱수이다.
ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
이는 가정에 모순된다.
οὐκ ἄρα ὁ Δ κύβος ἐστίν.
그러므로 Δ는 세제곱수가 아니다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἐστὶ χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων·
마찬가지로 단위로부터 네 번째 수와 두씩 거르는 수들을 제외하고는 다른 어떤 수도 세제곱수가 아님을 보일 수 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다。
§9.prop.11ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα μετρεῖ κατά τινα τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
만일 단위로부터 임의의 개수의 수들이 계속하여 비례하면, 더 작은 수는 그 비례하는 수들 안에 존재하는 어떤 수를 몫으로 삼아 더 큰 수를 측정한다。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς Α ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Β, Γ, Δ, Ε·
단위 Α로부터 임의의 개수의 수들이 계속하여 비례하는 수들을 Β, Γ, Δ, Ε라고 하자.
λέγω, ὅτι τῶν Β, Γ, Δ, Ε ὁ ἐλάχιστος ὁ Β τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα τῶν Γ, Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε·
나는 Β, Γ, Δ, Ε 중 가장 작은 Β가 Ε를 Γ, Δ 중의 어떤 수로 측정한다고 주장한다。 왜냐하면 단위 Α의 Β에 대한 비는 Δ의 Ε에 대한 비와 같으므로, 그러므로 단위 Α가 수 Β를 측정하는 횟수와 Δ가 Ε를 측정하는 횟수는 같다.
ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Ε. ἡ δὲ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
그러므로 교대로, 단위 Α가 Δ를 측정하는 횟수와 Β가 Ε를 측정하는 횟수는 같다. 그런데 단위 Α는 Δ를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
그러므로 Β도 Ε를 Δ 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ὥστε ὁ ἐλάσσων ὁ Β τὸν μείζονα τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα ἀριθμὸν τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
그리하여 더 작은 Β는 더 큰 Ε를 그 비례하는 수들 안에 존재하는 어떤 수로 측정한다。
Πόρισμα Καὶ φανερόν, ὅτι ἣν ἔχει τάξιν ὁ μετρῶν ἀπὸ μονάδος, τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ὁ καθʼ ὃν μετρεῖ ἀπὸ τοῦ μετρουμένου ἐπὶ τὸ πρὸ αὐτοῦ.
따름정리: 그리고 측정하는 수가 단위로부터 가지는 순서와 같은 순서를 측정 기준이 되는 수도 측정되는 수로부터 그 앞의 수로 거슬러 올라가며 가진다는 것이 분명하다.
¯ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다。