§9.prop.1ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνος ἔσται.
만일 두 닮은 평면수가 서로 곱하여 어떤 수를 만들면, 생긴 수는 제곱수일 것이다.
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
두 닮은 평면수를 Α, Β라 하고, Α가 Β를 곱하여 Γ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
나는 Γ가 제곱수라고 주장한다.
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.
왜냐하면 Α가 자신을 곱하여 Δ를 만든다고 하자.
ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
그러므로 Δ는 제곱수이다.
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
그러므로 Α가 자신을 곱하여 Δ를 만들고, Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Δ의 Γ에 대한 비와 같다. 그리고 Α, Β는 닮은 평면수이므로, 그러므로 Α, Β 사이에 한 수가 계속비례하여 끼어든다.
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας·
그런데 두 수 사이에 계속비례하여 끼어드는 수가 몇 개이든, 그들과 같은 비를 가지는 수들 사이에도 그만큼 끼어든다.
ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
따라서 Δ, Γ 사이에도 한 수가 계속비례하여 끼어든다.
καί ἐστι τετράγωνος ὁ Δ·
그리고 Δ는 제곱수이다.
τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ·
그러므로 Γ도 제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.2ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι τετράγωνον, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
만일 두 수가 서로 곱하여 제곱수를 만들면, 그것들은 닮은 평면수이다.
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τετράγωνον τὸν Γ ποιείτω·
두 수를 Α, Β라 하고, Α가 Β를 곱하여 제곱수 Γ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
나는 Α, Β가 닮은 평면수라고 주장한다.
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
왜냐하면 Α가 자신을 곱하여 Δ를 만든다고 하자.
ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
그러므로 Δ는 제곱수이다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ὁ Γ, οἱ Δ, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
그리고 Α가 자신을 곱하여 Δ를 만들고, Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Δ의 Γ에 대한 비와 같다. 그리고 Δ가 제곱수이고 Γ도 제곱수이므로, 그러므로 Δ, Γ는 닮은 평면수이다.
τῶν Δ, Γ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει.
그러므로 Δ, Γ 사이에 한 수가 계속비례하여 끼어든다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
그리고 Δ의 Γ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다.
καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει.
그러므로 Α, Β 사이에도 한 수가 계속비례하여 끼어든다.
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί·
그런데 두 수 사이에 한 수가 계속비례하여 끼어들면, 그것들은 닮은 평면수이다.
οἱ ἄρα Α, Β ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι·
그러므로 Α, Β는 닮은 평면수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.3ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.
만일 세제곱수가 자신을 곱하여 어떤 수를 만들면, 생긴 수는 세제곱수일 것이다.
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β ποιείτω·
왜냐하면 세제곱수 Α가 자신을 곱하여 Β를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.
나는 Β가 세제곱수라고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ τοῦ Α πλευρὰ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.
왜냐하면 Α의 한 변을 Γ라 하고, Γ가 자신을 곱하여 Δ를 만든다고 하자.
φανερὸν δή ἐστιν, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그러면 Γ가 Δ를 곱하여 Α를 만들었음은 명백하다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
그리고 Γ가 자신을 곱하여 Δ를 만들었으므로, 그러므로 Γ는 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 Δ를 측정한다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
그런데 단위도 Γ를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας.
그러므로 단위의 Γ에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다. 다시, Γ가 Δ를 곱하여 Α를 만들었으므로, 그러므로 Δ는 Γ 안에 있는 단위들의 수만큼 Α를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
그런데 단위도 Γ를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Α. ἀλλʼ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
그러므로 단위의 Γ에 대한 비는 Δ의 Α에 대한 비와 같다. 그런데 단위의 Γ에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Α. τῆς ἄρα μονάδος καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ δύο μέσοι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
그러므로 단위의 Γ에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비, 그리고 Δ의 Α에 대한 비와 같다. 그러므로 단위와 수 Α 사이에 두 수 Γ, Δ가 계속비례하여 끼어들었다. 다시, Α가 자신을 곱하여 Β를 만들었으므로, 그러므로 Α는 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 Β를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
그런데 단위도 Α를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β. τῆς δὲ μονάδος καὶ τοῦ Α δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί·
그러므로 단위의 Α에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 단위와 Α 사이에 두 수가 계속비례하여 끼어들었다.
καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί.
그러므로 Α, Β 사이에도 두 수가 계속비례하여 끼어들 것이다.
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται.
그런데 두 수 사이에 두 수가 계속비례하여 끼어들고 첫째 수가 세제곱수이면, 둘째 수도 세제곱수일 것이다.
καί ἐστιν ὁ Α κύβος·
그리고 Α는 세제곱수이다.
καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν·
그러므로 Β도 세제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.