§9.prop.1ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνος ἔσται.
二つの相似な平面数が互いに掛け合わされてある数を作るならば、できた数は平方数である。
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
二つの相似な平面数を Α, Β とし、 Α が Β を掛け合わせて Γ を作るとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
私は、Γ は平方数であると主張する。
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.
なぜなら、Α が自身を掛け合わせて Δ を作るとせよ。
ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
したがって、Δ は平方数である。
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
そこで、Α は自身を掛け合わせて Δ を作り、Β を掛け合わせて Γ を作ったのであるから、したがって、Α の Β に対する比は、Δ の Γ に対する比と同じである。 そして、Α, Β は相似な平面数であるから、したがって、Α, Β の間に一つの数が比例して中間に落ち込む。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας·
ところで、二つの数の間に連続して比例して中間に落ち込む数と同じ数だけ、それらと同じ比を持つ数の間にも落ち込む。
ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
したがって、Δ, Γ の間にも一つの数が比例して中間に落ち込む。
καί ἐστι τετράγωνος ὁ Δ·
そして、Δ は平方数である。
τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ·
したがって、Γ も平方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.2ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι τετράγωνον, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
二つの数が互いに掛け合わされて平方数を作るならば、それらは相似な平面数である。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τετράγωνον τὸν Γ ποιείτω·
二つの数を Α, Β とし、Α が Β を掛け合わせて平方数 Γ を作るとせよ。
λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
私は、Α, Β は相似な平面数であると主張する。
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
なぜなら、Α が自身を掛け合わせて Δ を作るとせよ。
ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
したがって、Δ は平方数である。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ὁ Γ, οἱ Δ, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
そして、Α は自身を掛け合わせて Δ を作り、Β を掛け合わせて Γ を作ったのであるから、したがって、 Α の Β に対する比は、Δ の Γ に対する比と同じである。 そして、Δ は平方数であり、さらに Γ もそうであるから、したがって、Δ, Γ は相似な平面数である。
τῶν Δ, Γ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει.
したがって、Δ, Γ の間に一つの数が比例して中間に落ち込む。
καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
そして、Δ の Γ に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。
καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει.
したがって、Α, Β の間にも一つの数が比例して中間に落ち込む。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί·
ところで、二つの数の間に一つの数が比例して中間に落ち込むならば、それらは相似な平面数である。
οἱ ἄρα Α, Β ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι·
したがって、Α, Β は相似な平面数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.3ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.
立方数が自身に掛け合わされてある数を作るならば、できた数は立方数である。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β ποιείτω·
なぜなら、立方数 Α が自身を掛け合わせて Β を作るとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.
私は、Β は立方数であると主張する。
εἰλήφθω γὰρ τοῦ Α πλευρὰ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.
なぜなら、Α の一辺を Γ とし、Γ が自身を掛け合わせて Δ を作るとせよ。
φανερὸν δή ἐστιν, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
すると、Γ が Δ を掛け合わせて Α を作ったことは明らかである。
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
そして、Γ は自身を掛け合わせて Δ を作ったのであるから、したがって、Γ は自身の中にある単位の数だけ Δ を割り切る。
ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
ところが、単位もまた Γ を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας.
したがって、単位の Γ に対する比は、Γ の Δ に対する比と同じである。 次に、Γ が Δ を掛け合わせて Α を作ったのであるから、したがって、Δ は Γ の中にある単位の数だけ Α を割り切る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
ところで、単位もまた Γ を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Α. ἀλλʼ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
したがって、単位の Γ に対する比は、Δ の Α に対する比と同じである。 ところが、単位の Γ に対する比は、Γ の Δ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Α. τῆς ἄρα μονάδος καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ δύο μέσοι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
したがって、単位の Γ に対する比は、Γ の Δ に対する比、かつ Δ の Α に対する比と同じである。 したがって、単位と数 Α の間に、二つの数 Γ, Δ が比例して連続して中間に落ち込んでいる。 次に、Α が自身を掛け合わせて Β を作ったのであるから、したがって、Α は自身の中にある単位の数だけ Β を割り切る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
ところで、単位もまた Α を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β. τῆς δὲ μονάδος καὶ τοῦ Α δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί·
したがって、単位の Α に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。 ところで、単位と Α の間に二つの数が比例して中間に落ち込んでいる。
καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί.
したがって、Α, Β の間にも二つの数が比例して中間に落ち込むであろう。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται.
ところで、二つの数の間に二つの数が比例して中間に落ち込み、第一の数が立方数であるならば、第二の数も立方数である。
καί ἐστιν ὁ Α κύβος·
そして、Α は立方数である。
καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν·
したがって、Β も立方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。