§8.prop.10ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἑκατέρου καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
\n若在两个数中的每一个与单位之间有连续比例的数插入，则在它们中的每一个与单位之间插入了多少个连续比例的数，在这两个数本身之间也会插入同样多个连续比例的数。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἵ τε Δ, Ε καὶ οἱ Ζ, η· λέγω, ὅτι ὅσοι ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
\n因为，设在两个数 Α、Β 与单位 Γ 之间有连续比例的数插入，即为 Δ、Ε 与 Ζ、 η；我声称，在 Α、Β 中的每一个与单位 Γ 之间插入了多少个连续比例的数，在 Α、Β 之间也会插入同样多个连续比例的数。
ὁ Δ γὰρ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ ποιείτω.
\n因为，设 Δ 乘以 Ζ 生成了 Θ，且 Δ、Ζ 中的每一个乘以 Θ 生成了 Κ、Λ 中的每一个。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε. ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· καὶ ὁ Δ ἄρα ἀριθμὸς τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· ὁ Δ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν.
\n又因为，单位 Γ 对数 Δ 就像 Δ 对 Ε，所以单位 Γ 整除数 Δ 的次数与 Δ 整除 Ε 的次数相同。 但单位 Γ 根据 Δ 中的单位数整除数 Δ；所以数 Δ 也根据 Δ 中的单位数整除 Ε；所以 Δ 乘以其自身生成了 Ε。
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Α, ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Α. ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
再次，因为 Γ 对数 Δ 就像 Ε 对 Α，所以单位 Γ 整除数 Δ 的次数与 Ε 整除 Α 的次数相同。
καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
但单位 Γ 根据 Δ 中的单位数整除数 Δ；所以 Ε 也根据 Δ 中的单位数整除 Α；所以 Δ 乘以 Ε 生成了 Α。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
同理，Ζ 乘以其自身生成了 Η，且乘以 Η 生成了 Β。
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. καὶ ὡς ἄρα ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ε, Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἔτι ἐπεὶ ὁ Ζ ἑκάτερον τῶν Θ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Λ·
又因为 Δ 乘以其自身生成了 Ε，且乘以 Ζ 生成了 Θ，所以，Δ 对 Ζ 就像 Ε 对 Θ。 同理，Δ 对 Ζ 就像 Θ 对 Η。 所以，Ε 对 Θ 就像 Θ 对 Η。 再次，因为 Δ 乘以 Ε、Θ 中的每一个生成了 Α、Κ 中的每一个，所以，Ε 对 Θ 就像 Α 对 Κ。 但 Ε 对 Θ 就像 Δ 对 Ζ；所以，Δ 对 Ζ 就像 Α 对 Κ。 再次，因为 Δ、Ζ 中的每一个乘以 Θ 生成了 Κ、Λ 中的每一个，所以，Δ 对 Ζ 就像 Κ 对 Λ。 但 Δ 对 Ζ 就像 Α 对 Κ；所以， Α 对 Κ 就像 Κ 对 Λ。 此外，因为 Ζ 乘以 Θ、Η 中的每一个生成了 Λ、Β 中的每一个，所以，Θ 对 Η 就像 Λ 对 Β。 但 Θ 对 Η 就像 Δ 对 Ζ；所以，Δ 对 Ζ 就像 Λ 对 Β。 但也已证明 Δ 对 Ζ 就像 Α 对 Κ 且 Κ 对 Λ；所以，Α 对 Κ 同样地像 Κ 对 Λ 且 Λ 对 Β。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β. οἱ Α, Κ, Λ, Β ἄρα κατὰ τὸ συνεχὲς ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον.
所以 Α、Κ、Λ、Β 是连续接续比例的。
ὅσοι ἄρα ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς Γ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεσοῦνται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，在 Α、Β 中的每一个与单位 Γ 之间插入了多少个连续比例的数，在 Α、Β 之间也同样插入了多少个连续比例 of 数；这就是所要证明的。