§8.prop.4#2μὴ μετρείτω δὴ ὁ Ε τὸν Κ. καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Ε, Κ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Μ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Κ τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Η ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Ο μετρείτω.
设 Ε 不测度 Κ。 且取被 Ε、Κ 测度的最小数 Μ。 且 Κ 测度 Μ 多少次，就让 Θ、Η 中的每一个也分别测度 Ν、Ξ 中的每一个；而 Ε 测度 Μ 多少次，就让 Ζ 也测度 Ο 多少次。
ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Θ τὸν Ν μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Ξ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν ξ.
因为 Θ 测度 Ν 的次数与 Η 测度 Ξ 的次数相同，所以，Θ 对 Η 就像 Ν 对 Ξ。 但是，Θ 对 Η 就像 Α 对 Β；因此，Α 对 Β 就像 Ν 对 Ξ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Μ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Ο, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Ο· οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τοῖς τοῦ τε Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις.
确实由于同样的原因，Γ 对 Δ 就像 Ξ 对 Μ。 再次，因为 Ε 测度 Μ 的次数与 Ζ 测度 Ο 的次数相同，所以，Ε 对 Ζ 就像 Μ 对 Ο；因此，Ν、Ξ、Μ、Ο 在 Α 对 Β 的比、Γ 对 Δ 的比，以及 Ε 对 Ζ 的比中是连续比例的。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις.
我确实声称，它们在 ΑΒ、ΓΔ、ΕΖ 的比中也是最小的。
εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις.
因为如果不是这样，就会有比 Ν、Ξ、Μ、Ο 更小的数在 ΑΒ、ΓΔ、ΕΖ 的比中连续比例。
ἔστωσαν οἱ Π, Ρ, Σ, Τ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Ρ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ.
设它们为 Π、Ρ、Σ、Τ。 并且因为 Π 对 Ρ 就像 Α 对 Β，而 Α、Β 是最小的，且最小的数以相同的次数测度与它们具有相同比的数，前项测度前项，后项测度后项，因此 Β 测度 Ρ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ρ μετρεῖ· οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ρ μετροῦσιν.
确实由于同样的原因，Γ 也测度 Ρ；因此 Β、Γ 测度 Ρ。
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ρ μετρήσει.
因此，被 Β、Γ 测度的最小数也将测度 Ρ。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενός ἐστιν ὁ Η· ὁ Η ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ.
而被 Β、Γ 测度的最小数是 Η；因此 Η 测度 Ρ。
καί ἐστιν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ρ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Σ· καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ.
且 Η 对 Ρ 就像 Κ 对 Σ；因此 Κ 也测度 Σ。
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Ε τὸν Σ· οἱ Ε, Κ ἄρα τὸν Σ μετροῦσιν.
而 Ε 也测度 Σ；因此 Ε、Κ 测度 Σ。
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενος τὸν Σ μετρήσει.
因此，被 Ε、Κ 测度的最小数也将测度 Σ。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενός ἐστιν ὁ Μ· ὁ Μ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
而被 Ε、Κ 测度的最小数是 Μ；因此 Μ 测度 Σ，即较大的测度较小的；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις· οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοί εἰσιν ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，不会有任何比 Ν、Ξ、Μ、Ο 更小的数，在 Α 对 Β 的比、Γ 对 Δ 的比，以及 Ε 对 Ζ 的比中连续比例；因此，Ν、Ξ、Μ、Ο 是在 ΑΒ、ΓΔ、ΕΖ 比中连续比例的最小数；这就是所要证明的。