§8.prop.4#2μὴ μετρείτω δὴ ὁ Ε τὸν Κ. καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Ε, Κ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Μ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Κ τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Η ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Ο μετρείτω.
이제 Ε가 Κ를 측정하지 않는다 하자. 그리고 Ε, Κ에 의해 측정되는 가장 작은 수 Μ이 취해졌다 하자. 그리고 Κ가 Μ을 측정하는 횟수만큼 Θ, Η 각각이 Ν, Ξ 각각을 측정하게 하고, Ε가 Μ을 측정하는 횟수만큼 Ζ도 Ο를 측정하게 하라.
ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Θ τὸν Ν μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Ξ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
Θ가 Ν을 측정하는 횟수와 Η가 Ξ를 측정하는 횟수가 같으므로, 그러므로 Θ의 Η에 대한 비는 Ν의 Ξ에 대한 비와 같다. 그런데 Θ의 Η에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν ξ.
그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Ν의 Ξ에 대한 비와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Μ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Ο, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Ο·
같은 이유로 Γ의 Δ에 대한 비는 Ξ의 Μ에 대한 비와 같다. 다시, Ε가 Μ을 측정하는 횟수와 Ζ도 Ο를 측정하는 횟수가 같으므로, 그러므로 Ε의 Ζ에 대한 비는 Μ의 Ο에 대한 비와 같다.
οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τοῖς τοῦ τε Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις.
그러므로 Ν, Ξ, Μ, Ο는 Α의 Β에 대한 비율, Γ의 Δ에 대한 비율, 그리고 Ε 의 Ζ에 대한 비율 안에서 연비례한다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις.
나는 이것들이 또한 ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ 비율들 안에서 가장 작다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις.
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, Ν, Ξ, Μ, Ο보다 더 작은 어떤 수들이 ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ 비율들 안에서 연비례할 것이기 때문이다.
ἔστωσαν οἱ Π, Ρ, Σ, Τ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Ρ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ.
그것들을 Π, Ρ, Σ, Τ라 하자. 그리고 Π의 Ρ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같고, Α, Β는 가장 작으며, 가장 작은 수들은 자신들과 같은 비를 가지는 수들을 같은 횟수만큼 측정하되 전항은 전항을, 후항은 후항을 측정하므로, 그러므로 Β는 Ρ를 측정한다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ρ μετρεῖ·
같은 이유로 Γ 역시 Ρ를 측정한다.
οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ρ μετροῦσιν.
그러므로 Β, Γ는 Ρ를 측정한다.
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ρ μετρήσει.
그러므로 Β, Γ에 의해 측정되는 가장 작은 수도 Ρ를 측정할 것이다.
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενός ἐστιν ὁ Η·
그런데 Β, Γ에 의해 측정되는 가장 작은 수는 Η이다.
ὁ Η ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ.
그러므로 Η는 Ρ를 측정한다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ρ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Σ·
그리고 Η의 Ρ에 대한 비는 Κ의 Σ에 대한 비와 같다.
καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ.
그러므로 Κ 역시 Σ를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Ε τὸν Σ·
그런데 Ε 역시 Σ를 측정한다.
οἱ Ε, Κ ἄρα τὸν Σ μετροῦσιν.
그러므로 Ε, Κ는 Σ를 측정한다.
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενος τὸν Σ μετρήσει.
그러므로 Ε, Κ에 의해 측정되는 가장 작은 수도 Σ를 측정할 것이다.
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενός ἐστιν ὁ Μ·
그런데 Ε, Κ에 의해 측정되는 가장 작은 수는 Μ이다.
ὁ Μ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그러므로 Μ이 Σ를 측정하게 되는데, 이는 더 큰 수가 더 작은 수를 측정하는 것이며, 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις·
그러므로 Ν, Ξ, Μ, Ο보다 더 작은 어떤 수들도 Α의 Β에 대한 비율, Γ의 Δ에 대한 비율, 그리고 Ε의 Ζ에 대한 비율 안에서 연속하여 비례할 수 없다.
οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοί εἰσιν ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις·
그러므로 Ν, Ξ, Μ, Ο 는 ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ 비율들 안에서 연비례하는 가장 작은 수들이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.