§8.prop.4#2μὴ μετρείτω δὴ ὁ Ε τὸν Κ. καὶ εἰλήφθω ὑπὸ τῶν Ε, Κ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Μ. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Κ τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ, Η ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Ο μετρείτω.
では、Ε は Κ を測らないとせよ。 そして、Ε, Κ によって測られる最小の数である Μ が取られたとせよ。 そして、Κ が Μ を測るのと同じ回数、Θ, Η のそれぞれが Ν, Ξ のそれぞれを測るようにせよ。 また、Ε が Μ を測るのと同じ回数、Ζ が Ο を測るようにせよ。
ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Θ τὸν Ν μετρεῖ καὶ ὁ Η τὸν Ξ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
Θ が Ν を測る回数と Η が Ξ を測る回数は同じであるので、したがって、Θ の Η に対する比は、Ν の Ξ に対する比と同じである。 ところで、Θ の Η に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν ξ.
したがって、Α の Β に対する比は、Ν の Ξ に対する比と同じである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Μ. πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Ε τὸν Μ μετρεῖ καὶ ὁ Ζ τὸν Ο, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Ο·
まったく同じ理由により、Γ の Δ に対する比は Ξ の Μ に対する比と同じである。 さらに、Ε が Μ を測る回数と Ζ が Ο を測る回数は同じであるので、したがって、Ε の Ζ に対する比は、Μ の Ο に対する比と同じである。
οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τοῖς τοῦ τε Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις.
したがって、Ν, Ξ, Μ, Ο は、Α の Β に対する比、Γ の Δ に対する比、さらに Ε の Ζ に対する比において、連続して比例している。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις.
私は、これらが ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ 比において最小でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή, ἔσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις.
なぜなら、もしそうでないならば、Ν, Ξ, Μ, Ο よりも小さい何らかの数が、ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ 比において連続して比例することになるからである。
ἔστωσαν οἱ Π, Ρ, Σ, Τ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Ρ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας αὐτοῖς ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ.
それらを Π, Ρ, Σ, Τ とせよ。 そして、Π の Ρ に対する比は Α の Β に対する比と同じであり、Α, Β は最小であり、そして最小の数はそれらと同じ比を持つ数を同じ回数だけ測るものであり、先行する数は先行する数を、後続する数は後続する数を測るのであるから、したがって Β は Ρ を測る。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ρ μετρεῖ·
まったく同じ理由により、Γ も Ρ を測る。
οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ρ μετροῦσιν.
したがって Β, Γ は Ρ を測る。
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ρ μετρήσει.
したがって、Β, Γ によって測られる最小の数も Ρ を測るであろう。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενός ἐστιν ὁ Η·
ところが、 Β, Γ によって測られる最小の数は Η である。
ὁ Η ἄρα τὸν Ρ μετρεῖ.
したがって、Η は Ρ を測る。
καί ἐστιν ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ρ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Σ·
そして、Η の Ρ に対する比は Κ の Σ に対する比と同じである。
καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ.
したがって、Κ も Σ を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Ε τὸν Σ·
ところで、Ε も Σ を測る。
οἱ Ε, Κ ἄρα τὸν Σ μετροῦσιν.
したがって Ε, Κ は Σ を測る。
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενος τὸν Σ μετρήσει.
したがって、Ε, Κ によって測られる最小の数も Σ を測るであろう。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Ε, Κ μετρούμενός ἐστιν ὁ Μ·
ところが、 Ε, Κ によって測られる最小の数は Μ である。
ὁ Μ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
したがって、Μ が Σ を測ることになるが、これはより大きい数がより小さい数を測ることであり、これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Ν, Ξ, Μ, Ο ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις·
したがって、Ν, Ξ, Μ, Ο よりも小さいいかなる数も、Α の Β に対する比、Γ の Δ に対する比、さらに Ε の Ζ に対する比において、連続して比例することはない。
οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο ἄρα ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοί εἰσιν ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ λόγοις·
したがって、Ν, Ξ, Μ, Ο は、ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ 比において連続して比例する最小の数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。