§8.prop.4#1λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις.
当给出任意多个用最小数表示的比时，求在这些给定比中连续比例的最小数。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες λόγοι ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὅ τε τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ· δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ.
εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Β τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Α τὸν Θ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Δ τὸν Κ μετρείτω.
设给出的用最小数表示的比为 Α 对 Β、Γ 对 Δ，以及 Ε 对 Ζ 的比；那么，必须求得在 Α 对 Β 的比、Γ 对 Δ 的比、以及 Ε 对 Ζ 的比中连续比例的最小数。
ὁ δὲ Ε τὸν Κ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
因为，设取被 Β、Γ 测度的最小数 Η。 并且，Β 测度 Η 多少次，就让 Α 也测度 Θ 多少次；而 Γ 测度 Η 多少次，就让 Δ 也测度 Κ 多少次。 而 Ε 或者测度 Κ，或者不测度。
μετρείτω πρότερον.
设先测度它。
καὶ ὁσάκις ὁ Ε τὸν Κ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Λ μετρείτω.
并且，Ε 测度 Κ 多少次，就让 Ζ 也测度 Λ 多少次。
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Α τὸν Θ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Η, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Κ, καὶ ἔτι ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ· οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
并且因为 Α 测度 Θ 的次数与 Β 测度 Η 的次数相同，所以，Α 对 Β 就像 Θ 对 Η。 确实由于同样的原因，Γ 对 Δ 就像 Η 对 Κ，并且进一步，Ε 对 Ζ 就像 Κ 对 Λ；从而 Θ、Η、Κ、Λ 在 Α 对 Β 的比、 Γ 对 Δ 的比，以及 Ε 对 Ζ 的比中是连续比例的。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.
我确实声称，它们也是最小的。
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις, ἔστωσαν οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ.
因为，如果 Θ、Η、Κ、Λ 不是在 Α 对 Β 的比、Γ 对 Δ 的比，以及 Ε 对 Ζ 的比中连续比例的最小数，设它们为 Ν、Ξ、Μ、Ο。 而且因为 Α 对 Β 就像 Ν 对 Ξ，而 Α、Β 是最小的数，且最小的数以相同的次数测度与它们具有相同比的数，即较大的测度较大的，较小的测度较小的，也就是前项测度前项，后项测度后项，因此 Β 测度 Ξ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ξ μετρεῖ· οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ξ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ξ μετρήσει. ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρεῖται ὁ Η·
确实由于同样的原因， Γ 也测度 Ξ；因此 Β、Γ 测度 Ξ；从而被 Β、Γ 测度的最小数也将测度 Ξ。
ὁ Η ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
但被 Β、Γ 测度的最小数是 Η；因此 Η 测度 Ξ，即较大的测度较小的；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Θ, Η, Κ, Λ ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
因此，不会有任何比 Θ、Η、Κ、Λ 更小的数，在 Α 对 Β 的比、Γ 对 Δ 的比，以及 Ε 对 Ζ 的比中连续比例。