§8.prop.4#1λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις.
최소의 수들로 이루어진 임의의 개수의 비율들이 주어졌을 때, 그 주어진 비율들 안에서 연비례하는 가장 작은 수들을 찾는 것.
ἔστωσαν οἱ δοθέντες λόγοι ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὅ τε τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ·
최소의 수들로 이루어진 주어진 비율들을 Α의 Β에 대한 비, Γ의 Δ에 대한 비, 그리고 Ε의 Ζ에 대한 비라 하자.
δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ.
εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Β τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Α τὸν Θ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Δ τὸν Κ μετρείτω.
이때 Α의 Β에 대한 비, Γ의 Δ에 대한 비, 그리고 Ε의 Ζ에 대한 비에서 연비례하는 가장 작은 수들을 찾아야 한다. 왜냐하면 Β, Γ에 의해 측정되는 가장 작은 수 Η가 취해졌다 하자. 그리고 Β가 Η를 측정하는 횟수만큼 Α도 Θ를 측정하게 하고, Γ가 Η를 측정하는 횟수만큼 Δ도 Κ를 측정하게 하라.
ὁ δὲ Ε τὸν Κ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
그런데 Ε는 Κ를 측정하거나 혹은 측정하지 않는다.
μετρείτω πρότερον.
먼저 측정한다 하자.
καὶ ὁσάκις ὁ Ε τὸν Κ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Λ μετρείτω.
그리고 Ε가 Κ를 측정하는 횟수만큼 Ζ도 Λ를 측정하게 하라.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Α τὸν Θ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Η, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Κ, καὶ ἔτι ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ·
그리고 Α가 Θ를 측정하는 횟수와 Β가 Η를 측정하는 횟수가 같으므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Θ의 Η에 대한 비와 같다. 같은 이유로 Γ의 Δ에 대한 비는 Η의 Κ에 대한 비와 같고, 게다가 Ε의 Ζ에 대한 비는 Κ의 Λ에 대한 비와 같다.
οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
그러므로 Θ, Η, Κ, Λ은 Α의 Β에 대한 비율, Γ의 Δ에 대한 비율, 그리고 Ε의 Ζ에 대한 비율 안에서 연비례한다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.
나는 이것들이 또한 가장 작다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις, ἔστωσαν οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ.
왜냐하면 만약 Θ, Η, Κ, Λ이 Α의 Β에 대한 비율, Γ의 Δ에 대한 비율, 그리고 Ε의 Ζ에 대한 비율에서 연비례하는 가장 작은 수들이 아니라면, 그것들을 Ν, Ξ, Μ, Ο라 하자. 그리고 Α의 사에 대한 비는 Ν의 Ξ에 대한 비와 같고, Α, Β는 가장 작으며, 가장 작은 수들은 자신들과 같은 비를 가지는 수들을 같은 횟수만큼 측정하되, 즉 더 큰 수는 더 큰 수를, 더 작은 수는 더 작은 수를, 다시 말해 전항은 전항을, 후항은 후항을 측정하므로, 그러므로 Β는 Ξ를 측정한다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ξ μετρεῖ·
같은 이유로 Γ 역시 Ξ를 측정한다.
οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ξ μετροῦσιν·
그러므로 Β, Γ는 Ξ를 측정한다.
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ξ μετρήσει.
그러므로 Β, Γ에 의해 측정되는 가장 작은 수도 Ξ를 측정할 것이다.
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρεῖται ὁ Η·
그런데 Β, Γ에 의해 측정되는 가장 작은 수는 Η이다.
ὁ Η ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그러므로 Η가 Ξ를 측정하게 되는데, 이는 더 큰 수가 더 작은 수를 측정하는 것이며, 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Θ, Η, Κ, Λ ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
그러므로 Θ, Η, Κ, Λ보다 더 작은 어떤 수들도 Α의 Β에 대한 비율, Γ의 Δ에 대한 비율, 그리고 Ε의 Ζ에 대한 비율 안에서 연속하여 비례할 수 없다.