§8.prop.4#1λόγων δοθέντων ὁποσωνοῦν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις.
最小の数におけるいくつかの与えられた比について、それらの与えられた比において、連続して比例する最小の数を見つけること。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες λόγοι ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὅ τε τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ·
最小の数における与えられた比を、Α の Β に対する比、Γ の Δ に対する比、さらに Ε の Ζ に対する比とせよ。
δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ.
εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Η. καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Β τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Α τὸν Θ μετρείτω, ὁσάκις δὲ ὁ Γ τὸν Η μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Δ τὸν Κ μετρείτω.
このとき、Α の Β に対する比、Γ の Δ に対する比、さらに Ε の Ζ に対する比において、連続して比例する最小の数を見つけなければならない。 なぜなら、Β, Γ によって測られる最小の数である Η が取られたとせよ。 そして、Β が Η を測るのと同じ回数、Α が Θ を測るようにせよ。 また、Γ が Η を測るのと同じ回数、Δ が Κ を測るようにせよ。
ὁ δὲ Ε τὸν Κ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
ところで、Ε は Κ を測るか、あるいは測らないかのいずれかである。
μετρείτω πρότερον.
まず測るとせよ。
καὶ ὁσάκις ὁ Ε τὸν Κ μετρεῖ, τοσαυτάκις καὶ ὁ Ζ τὸν Λ μετρείτω.
そして、Ε が Κ を測るのと同じ回数、Ζ が Λ を測るようにせよ。
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ὁ Α τὸν Θ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Η, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Κ, καὶ ἔτι ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ·
そして Α が Θ を測る回数と Β が Η を測る回数は同じであるので、したがって、Α の Β に対する比は、Θ の Η に対する比と同じである。 まったく同じ理由により、Γ の Δ に対する比は Η の Κ に対する比と同じであり、さらに Ε の Ζ に対する比は Κ の Λ に対する比と同じである。
οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
したがって、Θ, Η, Κ, Λ は、Α の Β に対する比、 Γ の Δ に対する比、さらに Ε の Ζ に対する比において、連続して比例している。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.
私は、これらが最小でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Θ, Η, Κ, Λ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ἔν τε τοῖς τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἐν τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγοις, ἔστωσαν οἱ Ν, Ξ, Μ, Ο. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ, οἱ δὲ Α, Β ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα, τουτέστιν ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον, ὁ Β ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ.
なぜなら、もし Θ, Η, Κ, Λ が、Α の Β に対する比、Γ の Δ に対する比、Ε の Ζ に対する比において連続して比例する最小の数でないならば、それらを Ν, Ξ, Μ, Ο とせよ。 そして、Α の Β に対する比は Ν の Ξ に対する比と同じであり、Α, Β は最小であり、そして最小の数はそれらと同じ比を持つ数を同じ回数だけ測るものであり、すなわち、より大きい数はより大きい数を、より小さい数はより小さい数を、つまり、先行する数は先行する数を、後続する数は後続する数を測るのであるから、したがって Β は Ξ を測る。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ξ μετρεῖ·
まったく同じ理由により、 Γ も Ξ を測る。
οἱ Β, Γ ἄρα τὸν Ξ μετροῦσιν·
したがって Β, Γ は Ξ を測る。
καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρούμενος τὸν Ξ μετρήσει.
したがって、Β, Γ によって測られる最小の数も Ξ を測るであろう。
ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ μετρεῖται ὁ Η·
ところが、Β, Γ によって測られる最小の数は Η である。
ὁ Η ἄρα τὸν Ξ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
したがって、Η が Ξ を測ることになるが、これはより大きい数がより小さい数を測ることであり、これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν Θ, Η, Κ, Λ ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἔν τε τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β καὶ τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
したがって、Θ, Η, Κ, Λ よりも小さいいかなる数も、Α の Β に対する比、Γ の Δ に対する比、さらに Ε の Ζ に対する比において、連続して比例することはない。