§8.prop.3ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
如果任意多个连比例数，在拥有与它们相同比的数中是最小的，那么它们的端项互素。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
设 Α、Β、Γ、Δ 为任意多个连比例数，且在拥有与它们相同比的数中是最小的；我声称，它们的端项 Α、Δ 互素。
εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Β, Γ, Δ λόγῳ οἱ Ε, Ζ, τρεῖς δὲ οἱ Η, Θ, Κ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως τὸ λαμβανόμενον πλῆθος ἴσον γένηται τῷ πλήθει τῶν Α, Β, Γ, Δ. εἰλήφθωσαν καὶ ἔστωσαν οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ.
καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
因为，在 Α、Β、Γ、Δ 的比中，设取两个最小的数 Ε、Ζ；以及三个数 Η、Θ、K，并依次递增一个，直到所取数量等于 Α、Β、 Γ、Δ 的数量。 设它们已被取，并设它们为 Λ、Μ、Ν、Ξ。 因为 Ε、Ζ 在拥有与它们相同比的数中是最小的，所以它们互素。
καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε, Ζ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Η, Κ πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Η, Κ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ, Ξ πεποίηκεν, καὶ οἱ Η, Κ ἄρα καὶ οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
又因为 Ε、Ζ 各自乘分别得到了 Η、Κ，并且分别乘以 Η、Κ 得到了 Λ、Ξ，所以 Η、K 以及 Λ、Ξ 互素。
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ ἐλάχιστοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ, ἕκαστος ἄρα τῶν Α, Β, Γ, Δ ἑκάστῳ τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ ἴσος ἐστίν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Α τῷ Λ, ὁ δὲ Δ τῷ Ξ. καί εἰσιν οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
又因为 Α、Β、Γ、Δ 在拥有与它们相同比的数中是最小的，而 Λ、Μ、Ν、Ξ 也是最小的，且与 Α、Β、Γ、Δ 拥有相同的比，且 Α、Β、Γ、Δ 的数量等于 Λ、Μ、Ν、Ξ 的数量，所以 Α、Β、Γ、Δ 各自等于 Λ、Μ、Ν、Ξ 各自；因此 A 等于 Λ，而 Δ 等于 Ξ。 且 Λ、Ξ 互素。
καὶ οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以 Α、Δ 也互素；这就是所要证明的。