§8.prop.2ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἂν ἐπιτάξῃ τις, ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.
求在给定的比中，连续比例且为最小的数，其个数为任意指定的。
ἔστω ὁ δοθεὶς λόγος ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β· δεῖ δὴ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἄν τις ἐπιτάξῃ, ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.
设给定的比在最小数中为 A 对 B 的比；那么就必须在 A 对 B 的比中，找到任意指定个数的、连续比例且为最小的数。
Ἐπιτετάχθωσαν δὴ τέσσαρες, καὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Α τοὺς Γ, Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η, Θ ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω.
现在设指定了四个数。 并且设 A 自乘得到 Γ，乘以 B 得到 Δ；再设 B 自乘得到 E；再设 A 乘以 Γ、Δ、E 得到 Z、H、Θ；最后设 B 乘以 E 得到 K。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ἑκάτερος ἄρα τῶν Α, Β τὸν Β πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Δ, Ε πεποίηκεν.
因为 A 自乘得到了 Γ，乘以 B 得到了 Δ，所以，A 对 B 的比等于 Γ 对 Δ 的比。 再者，因为 A 乘以 B 得到了 Δ，且 B 自乘得到了 E，所以 A、B 各自乘以 B，分别得到了 Δ、E。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Ζ, Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἦν ὁ Α πρὸς τὸν Β·
因此，A 对 B 的比等于 Δ 对 E 的比。 但是 A 对 B 的比等于 Γ 对 Δ 的比；所以，Γ 对 Δ 的比也等于 Δ 对 E 的比。 又因为 A 乘以 Γ、Δ 得到了 Z、H，所以，Γ 对 Δ 的比等于 Z 对 H 的比。 而 Γ 对 Δ 的比，原等于 A 对 B 的比；所以，A 对 B 的比也等于 Z 对 H 的比。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Δ, Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Η, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὁ Η πρὸς τὸν Θ. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β τὸν Ε πολλαπλασιάσαντες τοὺς Θ, Κ πεποιήκασιν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὅ τε Ζ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Η πρὸς τὸν Θ. καὶ ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Η πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ·
再者，因为 A 乘以 Δ、E 得到了 H、Θ，所以，Δ 对 E 的比等于 H 对 Θ 的比。 但是 Δ 对 E 的比，原等于 A 对 B 的比。 所以，A 对 B 的比也等于 H 对 Θ 的比。 又因为 A、B 乘以 E 得到了 Θ、K，所以，A 对 B 的比也等于 Θ 对 K 的比。 但是，A 对 B 的比等于 Z 对 H 的比，以及 H 对 Θ 的比。 所以，Z 对 H 的比也等于 H 对 Θ 的比，且等于 Θ 对 K 的比。
οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ.
所以，Γ、Δ、E 与 Z、H、Θ、K 是以 A 对 B 的比呈连比例的。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι.
现在我声称，它们也是最小的。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ δὲ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, οἱ Α, Β ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
因为 A、B 在拥有与它们相同比的数中是最小的，而在拥有相同比的数中最小的是互素的，所以，A、B 互素。
καὶ ἑκάτερος μὲν τῶν Α, Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Γ, Ε πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Γ, Ε πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ζ, Κ πεποίηκεν· οἱ Γ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Κ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
而且，A、B 各自乘分别得到了 Γ、E，并且分别乘以 Γ、E 得到了 Z、K；因此，Γ、E 与 Z、K 互素。
ἐὰν δὲ ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
但是，如果有任意多个连比例数，且它们的端项互素，那么在拥有与它们相同比的数中，它们是最小的。
οἱ Γ, Δ, Ε ἄρα καὶ οἱ Ζ, Η, Θ, Κ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，Γ、Δ、E 与 Z、H、Θ、K 是在拥有与 A、B 相同比的数中最小的；这就是所要证明的。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι ὦσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν, ἐὰν δὲ τέσσαρες, κύβοι.
推论由此显然可知，如果三个连比例数在拥有与它们相同比的数中是最小的，那么它们的端项是平方数，如果是四个，则是立方数。