§8.prop.3ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
만약 임의의 개수의 연비례인 수들이 있고 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작다면, 그것들의 양 끝 항은 서로소이다.
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ, Δ·
임의의 개수의 연비례인 수들이 있고 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작은 수들을 Α, Β, Γ, Δ라 하자.
λέγω, ὅτι οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
나는 그것들의 양 끝 항인 Α, Δ가 서로소라고 주장한다.
εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Β, Γ, Δ λόγῳ οἱ Ε, Ζ, τρεῖς δὲ οἱ Η, Θ, Κ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως τὸ λαμβανόμενον πλῆθος ἴσον γένηται τῷ πλήθει τῶν Α, Β, Γ, Δ. εἰλήφθωσαν καὶ ἔστωσαν οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ.
καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
왜냐하면 Α, Β, Γ, Δ의 비에서 가장 작은 두 수 Ε, Ζ가 취해졌다 하자. 그리고 세 수 Η, Θ, Κ, 그리고 차례로 하나씩 더 많은 수들을, 취해진 개수가 Α, Β, Γ, Δ의 개수와 같아질 때까지 취하도록 하자. 이것들이 취해졌다 하고, 그것들을 Λ, Μ, Ν, Ξ라 하자. 그리고 Ε, Ζ는 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작으므로, 서로소이다.
καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε, Ζ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Η, Κ πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Η, Κ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ, Ξ πεποίηκεν, καὶ οἱ Η, Κ ἄρα καὶ οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
또한 Ε, Ζ 각각이 자신을 곱하여 Η, Κ 각각을 만들었고, 각각의 Η, Κ를 곱하여 Λ, Ξ 각각을 만들었으므로, 그러므로 Η, Κ도, Λ, Ξ도 서로소이다.
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ ἐλάχιστοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ, ἕκαστος ἄρα τῶν Α, Β, Γ, Δ ἑκάστῳ τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ ἴσος ἐστίν·
그리고 Α, Β, Γ, Δ는 자신들과 같은 비를 가지는 것들 중에서 가장 작고, Λ, Μ, Ν, Ξ 역시 가장 작으며 Α, Β, Γ, Δ와 같은 비를 가지고, 또한 Α, Β, Γ, Δ의 개수는 Λ, Μ, Ν, Ξ의 개수와 같으므로, 그러므로 Α, Β, Γ, Δ 각각은 Λ, Μ, Ν, Ξ 각각과 같다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Α τῷ Λ, ὁ δὲ Δ τῷ Ξ. καί εἰσιν οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
그러므로 Α는 Λ와 같고, Δ는 Ξ와 같다. 그리고 Λ, Ξ는 서로소이다.
καὶ οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그러므로 Α, Δ 역시 서로소 이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.