§8.prop.3ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
もしいくつの数であれ連続して比例しており、それらと同じ比を持つもののうちで最小であるならば、それらの端の項は互いに素である。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ Α, Β, Γ, Δ·
いくつの数であれ、連続して比例しており、それらと同じ比を持つもののうちで最小である数を Α, Β, Γ, Δ とせよ。
λέγω, ὅτι οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Δ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
私は、それらの端の項である Α, Δ は互いに素であると主張する。
εἰλήφθωσαν γὰρ δύο μὲν ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ἐν τῷ τῶν Α, Β, Γ, Δ λόγῳ οἱ Ε, Ζ, τρεῖς δὲ οἱ Η, Θ, Κ, καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλείους, ἕως τὸ λαμβανόμενον πλῆθος ἴσον γένηται τῷ πλήθει τῶν Α, Β, Γ, Δ. εἰλήφθωσαν καὶ ἔστωσαν οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ.
καὶ ἐπεὶ οἱ Ε, Ζ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
なぜなら、Α, Β, Γ, Δ の比において、最小である 2 つの数 Ε, Ζ が取られたとせよ。 また、3 つの数 Η, Θ, Κ、およびそれ以降、常に 1 つずつ多いものが、取られる個数が Α, Β, Γ, Δ の個数と等しくなるまで（取られたとせよ）。 これらが取られたとし、それらを Λ, Μ, Ν, Ξ とせよ。 そして、Ε, Ζ はそれらと同じ比を持つもののうちで最小であるので、互いに素である。
καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε, Ζ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Η, Κ πεποίηκεν, ἑκάτερον δὲ τῶν Η, Κ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ, Ξ πεποίηκεν, καὶ οἱ Η, Κ ἄρα καὶ οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
また、Ε, Ζ のそれぞれが自身を掛けて Η, Κ のそれぞれを作り、さらに Η, Κ のそれぞれに掛けて Λ, Ξ のそれぞれを作ったので、したがって Η, Κ も、Λ, Ξ も互いに素である。
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ Λ, Μ, Ν, Ξ ἐλάχιστοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α, Β, Γ, Δ, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν Α, Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ, ἕκαστος ἄρα τῶν Α, Β, Γ, Δ ἑκάστῳ τῶν Λ, Μ, Ν, Ξ ἴσος ἐστίν·
また、Α, Β, Γ, Δ はそれらと同じ比を持つもののうちで最小であり、また Λ, Μ, Ν, Ξ も同じ比にあって最小であって、かつ Α, Β, Γ, Δ の個数は Λ, Μ, Ν, Ξ の個数に等しいので、したがって Α, Β, Γ, Δ のそれぞれは Λ, Μ, Ν, Ξ のそれぞれに等しい。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν Α τῷ Λ, ὁ δὲ Δ τῷ Ξ. καί εἰσιν οἱ Λ, Ξ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
したがって、Α は Λ に、Δ は Ξ に等しい。 そして、Λ, Ξ は互いに素である。
καὶ οἱ Α, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
したがって、Α, Δ も互いに素である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。