§8.prop.19#2καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ν πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν. ὡς δὲ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η· καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Β. ἀλλʼ ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως οὐ μόνον ὁ Ξ πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ καὶ ὁ Α πρὸς τὸν ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. οἱ Α, Ν, Ξ, Β ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τοῖς εἰρημένοις τῶν πλευρῶν λόγοις.
由于 Ε 乘以 Κ 生成了 Α，但确实乘以 Μ 也生成了 Ν，因此，Κ 对 Μ 就像 Α 对 Ν。 而 Κ 对 Μ 就像 Γ 对 Ζ 且 Δ 对 Η 且进一步 Ε 对 Θ；因此，Γ 对 Ζ 且 Δ 对 Η 且 Ε 对 Θ 就像 Α 对 Ν。 再次，由于 Ε、Θ 各自乘以 Μ 生成了 Ν、Ξ，因此，Ε 对 Θ 就像 Ν 对 Ξ。 但 Ε 对 Θ 就像 Γ 对 Ζ 且 Δ 对 Η；因此，Γ 对 Ζ 且 Δ 对 Η 且 Ε 对 Θ 就像 Α 对 Ν 且 Ν 对 Ξ。 再次，由于 Θ 乘以 Μ 生成了 Ξ，但确实乘以 Λ 也生成了 Β，因此，Μ 对 Λ 就像 Ξ 对 Β。 但 Μ 对 Λ 就像 Γ 对 Ζ 且 Δ 对 Η 且 Ε 对 Θ。 因此，Γ 对 Ζ 且 Δ 对 Η 且 Ε 对 Θ 就像不仅 Ξ 对 Β，而且 Α 对 Ν 且 Ν 对 Ξ。 因此，Α、Ν、Ξ、Β 在所述边的比中连续成比例。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ν, Ξ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ν. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ν, οὕτως ἐδείχθη ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
我声称，Α 对 Β 也具有对应边对对应边之比的三倍比，即数 Γ 对 Ζ，或 Δ 对 Η，且进一步 Ε 对 Θ 之比。 因为由于四个数 Α、Ν、Ξ、Β 连续成比例，因此 Α 对 Β 具有 Α 对 Ν 之比的三倍比。 但 Α 对 Ν 就像已证明的 Γ 对 Ζ 且 Δ 对 Η 且进一步 Ε 对 Θ。 因此，Α 对 Β 也具有对应边对对应边之比的三倍比，即数 Γ 对 Ζ 且 Δ 对 Η 且进一步 Ε 对 Θ 之比；这即是所要求证的。