§8.prop.19#2καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ν πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν. ὡς δὲ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ·
そして、Ε は Κ を掛けて Α を作ったが、しかし実に Μ も掛けて Ν を作ったので、したがって、 Κ の Μ に対する比は Α の Ν に対する比と同じである。 そして、Κ の Μ に対する比は、Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、さらに Ε の Θ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η·
したがって、Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、および Ε の Θ に対する比は、Α の Ν に対する比と同じである。 再び、Ε, Θ のそれぞれが Μ を掛けて、それぞれ Ν, Ξ を作ったので、したがって、Ε の Θ に対する比は Ν の Ξ に対する比と同じである。 しかし、Ε の Θ に対する比は、Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Β. ἀλλʼ ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως οὐ μόνον ὁ Ξ πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ καὶ ὁ Α πρὸς τὸν ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. οἱ Α, Ν, Ξ, Β ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τοῖς εἰρημένοις τῶν πλευρῶν λόγοις.
したがって、Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、および Ε の Θ に対する比は、Α の Ν に対する比、および Ν の Ξ に対する比と同じである。 再び、Θ は Μ を掛けて Ξ を作ったが、しかし実に Λ も掛けて Β を作ったので、したがって、Μ の Λ に対する比は Ξ の Β に対する比と同じである。 しかし、Μ の Λ に対する比は、Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、および Ε の Θ に対する比と同じである。 したがって、Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、および Ε の Θ に対する比は、Ξ の Β に対する比だけでなく、Α の Ν に対する比、および Ν の Ξ に対する比とも同じである。 したがって、Α, Ν, Ξ, Β は次々に、前述された辺の比において比例する。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ν, Ξ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ν. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ν, οὕτως ἐδείχθη ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ·
私は、Α もまた Β に対し、対応する辺の対応する辺に対する比の3乗比を持つ、と主張する。 すなわち、数 Γ の Ζ に対する比、あるいは Δ の Η に対する比、さらに Ε の Θ に対する比の3乗比である。 なぜなら、4つの数 Α, Ν, Ξ, Β は次々に比例するので、したがって、Α の Β に対する比は、Α の Ν に対する比の3乗比を持つ。 しかし、Α の Ν に対する比は、Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、さらに Ε の Θ に対する比と同じであることが示された。 したがって、Α もまた Β に対し、対応する辺の対応する辺に対する比の3乗比を持つ。 すなわち、数 Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、さらに Ε の Θ に対する比の3乗比である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。