§8.prop.19#2καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ν πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν. ὡς δὲ ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ·
그리고 Ε는 Κ를 곱하여 Α를 만들었고, 참으로 Μ도 곱하여 Ν을 만들었으므로, 그러므로 Κ의 Μ에 대한 비는 Α의 Ν에 대한 비와 같다. 그리고 Κ의 Μ에 대한 비는 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ 의 Η에 대한 비, 나아가 Ε의 Θ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ν. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η·
그러므로 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비, 그리고 Ε의 Θ에 대한 비는 Α의 Ν에 대한 비와 같다. 다시, Ε, Θ의 각각이 Μ을 곱하여 각각 Ν, Ξ를 만들었으므로, 그러므로 Ε의 Θ에 대한 비는 Ν의 Ξ에 대한 비와 같다. 그런데 Ε 의 Θ에 대한 비는 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Β. ἀλλʼ ὡς ὁ Μ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως οὐ μόνον ὁ Ξ πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ καὶ ὁ Α πρὸς τὸν ν καὶ ὁ Ν πρὸς τὸν Ξ. οἱ Α, Ν, Ξ, Β ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τοῖς εἰρημένοις τῶν πλευρῶν λόγοις.
그러므로 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비, 그리고 Ε의 Θ에 대한 비는 Α의 Ν에 대한 비, 그리고 Ν의 Ξ에 대한 비와 같다. 다시, Θ는 Μ을 곱하여 Ξ를 만들었고, 참으로 Λ도 곱하여 Β 를 만들었으므로, 그러므로 Μ의 Λ에 대한 비는 Ξ의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Μ의 Λ에 대한 비는 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비, 그리고 Ε의 Θ에 대한 비와 같다. 그러므로 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비, 그리고 Ε의 Θ에 대한 비는 Ξ의 Β에 대한 비뿐만 아니라, Α의 Ν에 대한 비, 그리고 개별적으로 Ν의 Ξ에 대한 비와도 같다. 그러므로 Α, Ν, Ξ, Β는 차례로 언급된 변들의 비에 있어서 비례한다.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ν, Ξ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ν. ἀλλʼ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ν, οὕτως ἐδείχθη ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ·
나는 Α도 Β에 대하여 대응하는 변의 대응하는 변에 대한 비의 세제곱비를 가진다고 주장한다. 즉, 수 Γ의 Ζ에 대한 비, 또는 Δ의 Η 에 대한 비, 나아가 Ε의 Θ에 대한 비의 세제곱비이다. 왜냐하면 네 수 Α, 개별적으로 Ν, Ξ, Β가 차례로 비례하므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Α의 개별적으로 Ν에 대한 비의 세제곱비를 가진다. 그런데 Α의 개별적으로 Ν에 대한 비는 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비, 나아가 Ε의 Θ에 대한 비와 같음이 증명되었다. 그러므로 Α도 Β에 대하여 대응하는 변의 대응하는 변에 대한 비의 세제곱비를 가진다. 즉, 수 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비, 나아가 Ε의 Θ에 대한 비의 세제곱비이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.