§8.prop.19#1δύο ὁμοίων στερεῶν ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί· καὶ ὁ στερεὸς πρὸς τὸν ὅμοιον στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
在两个相似立体数之间落入两个比例中项数；且立体数对相似立体数的比，是对应边对对应边之比的三倍比。
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι στερεοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, Ε, τοῦ δὲ Β οἱ Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ὡς δὲ ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.
ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω, ὁ δὲ Ζ τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.
设两个相似立体数为 Α、Β，且 Γ、Δ、Ε 为 Α的边，Ζ、Η、Θ 为 Β的边。 由于相似立体数是那些边成比例的数，因此，Γ 对 Δ 就像 Ζ 对 Η，而 Δ 对 Ε 就像 Η 对 Θ。 我声称，在 Α、Β 之间落入两个比例中项数，且 Α 对 Β 的比，是 Γ 对 Ζ、且 Δ 对 Η、且进一步 Ε 对 Θ 之比的三倍比。 因为，设 Γ 乘以 Δ 生成 Κ，且 Ζ 乘以 Η 生成 Λ。
καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ τοῖς Ζ, Η ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καὶ ἐκ μὲν τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ, ἐκ δὲ τῶν Ζ, Η ὁ Λ, οἱ Κ, Λ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί· τῶν Κ, Λ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.
由于 Γ、Δ 与 Ζ、Η 在相同比中，且由 Γ、Δ 生成的是 Κ，由 Ζ、Η 生成的是 Λ，因此 Κ、Λ 是相似平面数；所以在 Κ、Λ 之间有一个比例中项数。
ἔστω ὁ Μ. ὁ Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ζ, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ἐδείχθη.
设它为 Μ。 那么，正如在此前的定理中证明的那样，Μ 是由 Δ、Ζ 生成的数。
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Κ πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ. ἀλλʼ ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, ὁ Μ πρὸς τὸν Λ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
由于 Δ 乘以 Γ 生成了 Κ，乘以 Ζ 生成了 Μ，因此，Γ 对 Ζ 就像 Κ 对 Μ。 但 Κ 对 Μ 就像 Μ 对 Λ；因此，Κ、Μ、Λ 在 Γ 对 Ζ 的比中连续成比例。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Θ. ἑκάτερος δὴ τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ ποιείτω.
由于 Γ 对 Δ 就像 Ζ 对 Η，因此交错地，Γ 对 Ζ 就像 Δ 对 Η。 同理，Δ 对 Η 就像 Ε 对 Θ。 因此，Κ、Μ、Λ 在 Γ 对 Ζ 的比、且 Δ 对 Η 的比、且进一步 Ε 对 Θ 的比中连续成比例。 那么，设 Ε、Θ 各自乘以 Μ 生成数 Ν、Ξ。
καὶ ἐπεὶ στερεός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Γ, Δ, Ε, ὁ Ε ἄρα τὸν ἐκ τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
由于 Α 是立体数，且 Γ、Δ、Ε 是它的边，因此 Ε 乘以由 Γ、Δ 生成的数，生成了 Α。
ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ· ὁ Ε ἄρα τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
而由 Γ、Δ 生成的数是 Κ；因此 Ε 乘以 Κ 生成了 Α。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Θ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
同理，Θ 乘以 Λ 也生成了 Β。