§8.prop.18δύο ὁμοίων ἐπιπέδων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός· καὶ ὁ ἐπίπεδος πρὸς τὸν ἐπίπεδον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
在两个相似平面数之间有一个比例中项数；且平面数对平面数的比，是对应边对对应边之比的二倍比。
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. λέγω οὖν, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον.
设两个相似平面数为 Α、Β，且数 Γ、Δ 为 Α的边，Ε、Ζ 为 Β的边。 由于相似平面数是那些边成比例的数，因此，Γ 对 Δ 就像 Ε 对 Ζ。 那么我声称，在 Α、Β 之间有一个比例中项数，且 Α 对 Β 的比，是 Γ 对 Ε 或 Δ 对 Ζ（即对应边对对应边）之比的二倍比。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
由于 Γ 对 Δ 就像 Ε 对 Ζ，因此交错地，Γ 对 Ε 就像 Δ 对 Ζ。 又由于 Α 是平面数，且 Γ、Δ 是它的边，因此 Δ 乘以 Γ 生成了 Α。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
同理，Ε 乘以 Ζ 也生成了 Β。
ὁ Δ δὴ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω.
现在，设 Δ 乘以 Ε 生成 Η。
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η. ἀλλʼ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
由于 Δ 乘以 Γ 生成了 Α，乘以 Ε 生成了 Η，因此，Γ 对 Ε 就像 Α 对 Η。 但 Γ 对 Ε 就像 Δ 对 Ζ；因此，Δ 对 Ζ 就像 Α 对 Η。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η·
再次，由于 Ε 乘以 Δ 生成了 Η，乘以 Ζ 生成了 Β，因此，Δ 对 Ζ 就像 Η 对 Β。 但已被证明，Δ 对 Ζ 就像 Α 对 Η；因此，Α 对 Η 就像 Η 对 Β。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β. οἱ Α, Η, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
因此 Α、Η、Β 是连比例数。
τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.
所以 Α、Β 之间有一个比例中项数。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Η, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Η. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
我进一步声称，Α 对 Β 的比，是对应边对对应边之比的二倍比，即 Γ 对 Ε 或 Δ 对 Ζ 之比的二倍比。 因为，既然 Α、Η、Β 是连比例数，Α 对 Β 的比，就是 Α 对 Η 之比的二倍比。 而 Α 对 Η 就像 Γ 对 Ε 且 Δ 对 Ζ。 因此，Α 对 Β 的比，是 Γ 对 Ε 或 Δ 对 Ζ 之比的二倍比；这就是所要证明的。