§8.prop.19#1δύο ὁμοίων στερεῶν ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί·
2つの相似な立体数の間には、2つの比例中項の数が挟まる。
καὶ ὁ στερεὸς πρὸς τὸν ὅμοιον στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
そして、立体数の相似な立体数に対する比は、対応する辺の対応する辺に対する比の3乗比を持つ。
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι στερεοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, Ε, τοῦ δὲ Β οἱ Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ὡς δὲ ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.
ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω, ὁ δὲ Ζ τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.
2つの相似な立体数を Α, Β とし、 Α の辺を数 Γ, Δ, Ε とし、 Β の辺を Ζ, Η, Θ とせよ。 そして、相似な立体数とは辺が比例しているものであるから、それゆえ、 Γ の Δ に対する比は Ζ の Η に対する比と同じであり、 Δ の Ε に対する比は Η の Θ に対する比と同じである。 私は、 Α, Β の間には2つの比例中項の数が挟まり、 Α の Β に対する比は、 Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、さらに Ε の Θ に対する比の3乗比を持つ、と主張する。 なぜなら、 Γ は Δ を掛けて Κ を作るとし、 Ζ は Η を掛けて Λ を作るとせよ。
καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ τοῖς Ζ, Η ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καὶ ἐκ μὲν τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ, ἐκ δὲ τῶν Ζ, Η ὁ Λ, οἱ Κ, Λ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί·
そして、 Γ, Δ は Ζ, Η と同じ比にあり、かつ Γ, Δ から作られるのは Κ であり、 Ζ, Η からは Λ であるので、 Κ, Λ は相似な平面数である。
τῶν Κ, Λ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.
したがって、 Κ, Λ の間には1つの比例中項の数が存在する。
ἔστω ὁ Μ. ὁ Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ζ, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ἐδείχθη.
それを Μ とせよ。 すると、前の定理で示されたように、 Μ は Δ, Ζ から作られるものである。
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Κ πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ. ἀλλʼ ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, ὁ Μ πρὸς τὸν Λ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
そして、 Δ は Γ を掛けて Κ を作り、 Ζ を掛けて Μ を作ったので、したがって、 Γ の Ζ に対する比は Κ の Μ に対する比と同じである。 しかし、 Κ の Μ に対する比は Μ の Λ に対する比と同じである。 したがって、 Κ, Μ, Λ は次々に、 Γ の Ζ に対する比において比例する。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Θ. ἑκάτερος δὴ τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ ποιείτω.
そして、 Γ の Δ に対する比は Ζ の Η に対する比と同じであるので、したがって交互により、 Γ の Ζ に対する比は Δ の Η に対する比と同じである。 同じ理由により、 Δ の Η に対する比は Ε の Θ に対する比と同じである。 したがって、 Κ, Μ, Λ は次々に、 Γ の Ζ に対する比、および Δ の Η に対する比、さらに Ε の Θ に対する比において比例する。 そこで、 Ε, Θ のそれぞれが Μ を掛けて、それぞれ Ν, Ξ を作るとせよ。
καὶ ἐπεὶ στερεός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Γ, Δ, Ε, ὁ Ε ἄρα τὸν ἐκ τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
そして、 Α は立体数であり、その辺は Γ, Δ, Ε であるので、したがって Ε は Γ, Δ から作られるものに掛けて Α を作った。
ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ·
しかし、 Γ, Δ から作られるものは Κ である。
ὁ Ε ἄρα τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
したがって、 Ε は Κ を掛けて Α を作った。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Θ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
同じ理由により、 Θ も Λ を掛けて Β を作った。