§8.prop.19#1δύο ὁμοίων στερεῶν ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί·
두 닮은 입체수 사이에는 두 개의 비례중항수가 끼어든다.
καὶ ὁ στερεὸς πρὸς τὸν ὅμοιον στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
그리고 입체수의 닮은 입체수에 대한 비는 대응하는 변의 대응하는 변에 대한 비의 세제곱비를 가진다.
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι στερεοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, Ε, τοῦ δὲ Β οἱ Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ὡς δὲ ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Θ. λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι ὁ Ε πρὸς τὸν Θ.
ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Κ ποιείτω, ὁ δὲ Ζ τὸν Η πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω.
두 닮은 입체수를 Α, Β라 하고, Α의 변을 Γ, Δ, Ε라 하며, Β의 변을 Ζ, Η, Θ라 하자. 그리고 닮은 입체수란 그 변들이 비례하는 것들이므로, 그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 Ζ의 Η에 대한 비와 같고, Δ의 Ε에 대한 비는 Η의 Θ에 대한 비와 같다. 나는 Α, Β 사이에 두 개의 비례중항수가 끼어들며, Α의 Β에 대한 비는 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비, 나아가 Ε의 Θ에 대한 비의 세제곱비를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 Γ가 Δ를 곱하여 Κ를 만든다고 하고, Ζ가 Η를 곱하여 Λ를 만든다고 하자.
καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ τοῖς Ζ, Η ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν, καὶ ἐκ μὲν τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ, ἐκ δὲ τῶν Ζ, Η ὁ Λ, οἱ Κ, Λ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί·
그리고 Γ, Δ는 Ζ, Η와 같은 비에 있고, Γ, Δ로 인해 생기는 것은 Κ이고, Ζ, Η로 인해 생기는 것은 Λ이므로, Κ, Λ은 닮은 평면수이다.
τῶν Κ, Λ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.
따라서 Κ, Λ 사이에는 하나의 비례중항수가 존재한다.
ἔστω ὁ Μ. ὁ Μ ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ζ, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ἐδείχθη.
그것을 Μ이라 하자. 그러면 이 앞의 정리에서 증명되었듯이, Μ은 Δ, Ζ로 인해 생기는 수이다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Κ πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Μ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Μ. ἀλλʼ ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Μ, ὁ Μ πρὸς τὸν Λ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ.
그리고 Δ는 Γ를 곱하여 Κ를 만들고, Ζ를 곱하여 Μ을 만들었으므로, 그러므로 Γ의 Ζ에 대한 비는 Κ의 Μ에 대한 비와 같다. 그런데 Κ의 Μ에 대한 비는 Μ의 Λ에 대한 비와 같다. 그러므로 Κ, Μ, Λ은 차례로 Γ의 Ζ에 대한 비에 있어서 비례한다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Η. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. οἱ Κ, Μ, Λ ἄρα ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἔν τε τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Ζ λόγῳ καὶ τῷ τοῦ Δ πρὸς τὸν Η καὶ ἔτι τῷ τοῦ Ε πρὸς τὸν Θ. ἑκάτερος δὴ τῶν Ε, Θ τὸν Μ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ ποιείτω.
그리고 Γ의 Δ에 대한 비는 Ζ의 Η에 대한 비와 같으므로, 그러므로 교대로, Γ의 Ζ에 대한 비는 Δ의 Η에 대한 비와 같다. 같은 이유로, Δ의 Η에 대한 비는 Ε의 Θ에 대한 비와 같다. 그러므로 Κ, Μ, Λ은 차례로 Γ의 Ζ에 대한 비, 그리고 Δ의 Η에 대한 비, 나아가 Ε의 Θ에 대한 비에 있어서 비례한다. 이제 Ε, Θ의 각각이 Μ을 곱하여 각각 Ν, Ξ를 만든다고 하자.
καὶ ἐπεὶ στερεός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Γ, Δ, Ε, ὁ Ε ἄρα τὸν ἐκ τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그리고 Α는 입체수이고 그 변은 Γ, Δ, Ε이므로, 그러므로 Ε는 Γ, Δ로 인해 생기는 것에 곱하여 Α를 만들었다.
ὁ δὲ ἐκ τῶν Γ, Δ ἐστιν ὁ Κ·
그런데 Γ, Δ로 인해 생기는 것은 Κ이다.
ὁ Ε ἄρα τὸν Κ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그러므로 Ε는 Κ를 곱하여 Α를 만들었다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Θ τὸν Λ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
같은 이유로, Θ도 Λ를 곱하여 Β를 만들었다.