§8.prop.15ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.
如果一个立方数整除另一个立方数，则其边也整除其边；如果边整除边，则立方数也整除立方数。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον τὸν Β μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
设立方数 Α 整除立方数 Β，且 Α的边为 Γ，Β的边为 Δ；我声称，Γ 也整除 Δ。
ὁ Γ γὰρ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ, ἑκάτερος δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω.
因为，设 Γ 乘以自身生成 Ε，且 Δ 乘以自身生成 Η，并设 Γ 乘以 Δ 生成 Ζ，且 Γ、Δ 中的每一个乘以 Ζ 分别生成 Θ、Κ 中的每一个。
φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η καὶ οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
那么显然，Ε、Ζ、Η 以及 Α、Θ、Κ、Β 是以 Γ 对 Δ 的比而依次成比例的。
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Θ, κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ τὸν Θ. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.
ἀλλὰ δὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
又因为 Α、Θ、 Κ、Β 是依次成比例的，且 Α 整除 Β，所以它也整除 Θ。 而 Α 对 Θ 就像 Γ 对 Δ；所以 Γ 也整除 Δ。 再次，设 Γ 整除 Δ；我声称，Α 也将整除 Β。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
因为在同样的作图下，我们同样可以证明 Α、Θ、Κ、Β 在 Γ 对 Δ 的比中是连比例数。
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ, καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Θ μετρεῖ· ὥστε καὶ τὸν Β μετρεῖ ὁ Α· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且因为 Γ 整除 Δ，又因为 Γ 对 Δ 就像 Α 对 Θ，所以 Α 也整除 Θ；从而 Α 也整除 Β；这就是所要证明的。
§8.prop.16ἐὰν τετράγωνος ἀριθμὸς τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
如果一个平方数不整除另一个平方数，则其边也不整除其边；如果边不整除边，则平方数也不整除平方数。
῎ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Β· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
设平方数为 Α、Β，它们的边为 Γ、Δ，且 Α 不整除 Β；我声称，Γ 也不整除 Δ。
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, μετρήσει καὶ ὁ Α τὸν Β. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β· οὐδὲ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.
因为，如果 Γ 整除 Δ，则 Α 也将整除 Β。 但 Α 不整除 Β；因此 Γ 也将不整除 Δ。
μὴ μετρείτω πάλιν ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
再次，设 Γ 不整除 Δ；我声称，Α 也将不整除 Β。
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρήσει καὶ ὁ Γ τὸν Δ. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ· οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因为，如果 Α 整除 Β，则 Γ 也将整除 Δ。 但 Γ 不整除 Δ；因此 Α 也将不整除 Β；这就是所要证明的。
§8.prop.17ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.
如果一个立方数不整除另一个立方数，则其边也不整除其边；如果边不整除边，则立方数也不整除立方数。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β μὴ μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ οὐ μετρήσει.
设立方数 Α 不整除立方数 Β，且 Α的边为 Γ，Β的边为 Δ；我声称，Γ 将不整除 Δ。
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
因为，如果 Γ 整除 Δ，则 Α 也将整除 Β。
οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β· οὐδʼ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
但 Α 不整除 Β；因此 Γ 也不整除 Δ。
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ· λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
再次，设 Γ 不整除 Δ；我声称，Α 也将不整除 Β。
εἰ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.
因为，如果 Α 整除 Β，则 Γ 也将整除 Δ。
οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ· οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
但 Γ 不整除 Δ；因此 Α 也将不整除 Β；这就是所要证明的。