§8.prop.18δύο ὁμοίων ἐπιπέδων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός·
두 닮은 평면수 사이에는 하나의 비례중항수가 존재한다.
καὶ ὁ ἐπίπεδος πρὸς τὸν ἐπίπεδον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
그리고 평면수의 평면수에 대한 비는 대응하는 변의 대응하는 변에 대한 비의 제곱비를 가진다.
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. λέγω οὖν, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον.
두 닮은 평면수를 Α, Β라 하고, Α의 변인 수를 Γ, Δ라 하며, Β의 변인 수를 Ε, Ζ라 하자. 그리고 닮은 평면수란 그 변들이 비례하는 것들이므로, 그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 Ε의 Ζ에 대한 비와 같다. 그러므로 나는 Α, Β 사이에 하나의 비례중항 수가 존재하며, Α의 Β에 대한 비는 Γ의 Ε에 대한 비 또는 Δ의 Ζ에 대한 비(즉 대응하는 변의 대응하는 변에 대한 비)의 제곱비를 가진다고 주장한다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그리고 Γ의 Δ에 대한 비는 Ε의 Ζ에 대한 비와 같으므로, 그러므로 교대로, Γ의 Ε에 대한 비는 Δ의 Ζ에 대한 비와 같다. 그리고 Α는 평면수이고 그 변은 Γ, Δ이므로, 그러므로 Δ는 Γ를 곱하여 Α를 만들었다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
같은 이유로 Ε도 Ζ를 곱하여 Β를 만들었다.
ὁ Δ δὴ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω.
이제 Δ가 Ε를 곱하여 Η를 만든다고 하자.
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η. ἀλλʼ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
그리고 Δ는 Γ를 곱하여 Α를 만들고, Ε를 곱하여 Η를 만들었으므로, 그러므로 Γ의 Ε에 대한 비는 Α의 Η에 대한 비와 같다. 그런데 Γ의 Ε에 대한 비는 Δ의 Ζ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η·
그러므로 Δ의 Ζ에 대한 비도 Α의 Η에 대한 비와 같다. 다시, Ε는 Δ를 곱하여 Η를 만들고, Ζ를 곱하여 Β를 만들었으므로, 그러므로 Δ의 Ζ에 대한 비는 Η의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Δ의 Ζ에 대한 비는 Α의 Η에 대한 비와 같다는 것이 증명되었다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β. οἱ Α, Η, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
그러므로 Α의 Η에 대한 비는 Η의 Β에 대한 비와 같다. 그러므로 Α, Η, Β는 차례로 비례한다.
τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.
따라서 Α, Β 사이에는 하나의 비례중항수가 존재한다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Η, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Η. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
나는 나아가 Α의 Β에 대한 비는 대응하는 변의 대응하는 변에 대한 비의 제곱비를 가진다고 주장한다. 즉, Γ의 Ε에 대한 비 또는 Δ의 Ζ에 대한 비의 제곱비를 가진다. 왜냐하면 Α, Η, Β가 차례로 비례하므로, Α의 Β에 대한 비는 그것의 Η에 대한 비의 제곱비를 가지기 때문이다. 그리고 Α의 Η에 대한 비는 Γ의 Ε에 대한 비 및 Δ의 Ζ에 대한 비와 같다. 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Γ의 Ε에 대한 비 또는 Δ의 Ζ에 대한 비의 제곱비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.