§8.prop.18δύο ὁμοίων ἐπιπέδων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός·
2つの相似な平面数の間には、1つの比例中項の数が存在する。
καὶ ὁ ἐπίπεδος πρὸς τὸν ἐπίπεδον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν.
そして、平面数の平面数に対する比は、対応する辺の対応する辺に対する比の2乗比（倍比）を持つ。
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ, Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β οἱ Ε, Ζ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. λέγω οὖν, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον.
2つの相似な平面数を Α, Β とし、 Α の辺を数 Γ, Δ とし、 Β の辺を Ε, Ζ とせよ。 そして、相似な平面数とは辺が比例しているものであるから、それゆえ、 Γ の Δ に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じである。 そこで私は、 Α, Β の間には1つの比例中項の数が存在し、 Α の Β に対する比は、 Γ の Ε に対する比、あるいは Δ の Ζ に対する比（すなわち対応する辺の対応する辺に対する比）の2乗比を持つ、と主張する。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδός ἐστιν ὁ Α, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
そして、 Γ の Δ に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであるので、したがって交互により、 Γ の Ε に対する比は Δ の Ζ に対する比と同じである。 そして、 Α は平面数であり、その辺は Γ, Δ であるので、したがって Δ は Γ を掛けて Α を作った。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
同じ理由により、 Ε も Ζ を掛けて Β を作った。
ὁ Δ δὴ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω.
そこで、 Δ は Ε を掛けて Η を作るとせよ。
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η. ἀλλʼ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε, ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
そして、 Δ は Γ を掛けて Α を作り、 Ε を掛けて Η を作ったので、したがって、 Γ の Ε に対する比は Α の Η に対する比と同じである。 しかし、 Γ の Ε に対する比は Δ の Ζ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η·
したがって、 Δ の Ζ に対する比も Α の Η に対する比と同じである。 さらに、 Ε は Δ を掛けて Η を作り、 Ζ を掛けて Β を作ったので、したがって、 Δ の Ζ に対する比は Η の Β に対する比と同じである。 しかし、 Δ の Ζ に対する比は Α の Η に対する比と同じであることも示された。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β. οἱ Α, Η, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
したがって、 Α の Η に対する比は Η の Β に対する比と同じである。 したがって、 Α, Η, Β は次々に比例する。
τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.
それゆえ、 Α, Β の間には1つの比例中項の数が存在する。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Η, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Η. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Η, οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ. καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
そこで私は、 Α の Β に対する比は対応する辺の対応する辺に対する比の2乗比を持つ（すなわち、 Γ の Ε に対する比、あるいは Δ の Ζ に対する比の2乗比を持つ）と主張する。 なぜなら、 Α, Η, Β は次々に比例するので、 Α の Β に対する比は、 Η に対する比の2乗比を持つ。 そして、 Α の Η に対する比は、 Γ の Ε に対する比および Δ の Ζ に対する比と同じである。 したがって、 Α の Β に対する比は、 Γ の Ε に対する比、あるいは Δ の Ζ に対する比の2乗比を持つ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。