§8.prop.15ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
만약 입방수(세제곱수)가 입방수를 나누어떨어지게 하면 그 변도 변을 나누어떨어지게 할 것이다.
καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.
또한 변이 변을 나누어떨어지게 하면 입방수도 입방수를 나누어떨어지게 할 것이다.
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον τὸν Β μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ·
입방수 Α가 입방수 Β를 나누어떨어지게 한다고 하고, Α의 변을 Γ, Β의 변을 Δ라 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
나는 Γ가 Δ를 나누어떨어지게 한다고 주장한다.
ὁ Γ γὰρ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ, ἑκάτερος δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω.
왜냐하면 Γ는 자신을 곱하여 Ε를 만들고, Δ는 자신을 곱하여 Η를 만들며, 나아가 Γ는 Δ를 곱하여 Ζ를 만들고, Γ, Δ 각각은 Ζ를 곱하여 Θ, Κ 각각을 만든다고 하자.
φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η καὶ οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
그러면 Ε, Ζ, Η 및 Α, Θ, Κ, Β가 Γ의 Δ에 대한 비로 차례로 비례한다는 것은 자명하다.
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Θ, κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ τὸν Θ. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
그리고 Α, Θ, Κ, Β가 차례로 비례하고 Α가 Β를 나누어떨어지게 하므로, 그러므로 그것은 Θ도 나누어떨어지게 한다. 그런데 Α의 Θ에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다.
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.
ἀλλὰ δὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ·
그러므로 Γ도 Δ를 나누어떨어지게 한다. 다시, Γ가 Δ를 나누어떨어지게 한다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
나는 Α도 Β를 나누어떨어지게 할 것이라고 주장한다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
왜냐하면 같은 구성에 따라, 마찬가지로 우리는 Α, Θ, Κ, Β가 Γ의 Δ에 대한 비로 차례로 비례한다는 것을 증명할 것이다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ, καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Θ μετρεῖ·
그리고 Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하고, Γ의 Δ에 대한 비는 Α의 Θ에 대한 비와 같으므로, 그러므로 Α도 Θ를 나누어떨어지게 한다.
ὥστε καὶ τὸν Β μετρεῖ ὁ Α·
따라서 Α는 Β도 나누어떨어지게 한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§8.prop.16ἐὰν τετράγωνος ἀριθμὸς τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
만약 제곱수가 제곱수를 나누어떨어지게 하지 않으면 그 변도 변을 나누어떨어지게 하지 않을 것이다.
κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
또한 변이 변을 나누어떨어지게 하지 않으면 제곱수도 제곱수를 나누어떨어지게 하지 않을 것이다.
῎ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Β·
제곱수를 Α, Β라 하고 그 변들을 Γ, Δ라 하자. 그리고 Α가 Β를 나누어떨어지게 하지 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
나는 Γ도 Δ를 나누어떨어지게 하지 않는다고 주장한다.
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, μετρήσει καὶ ὁ Α τὸν Β. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β·
왜냐하면 만약 Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하면, Α도 Β를 나누어떨어지게 할 것이다. 그러나 Α가 Β를 나누어떨어지게 하지 않는다.
οὐδὲ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.
그러므로 Γ도 Δ를 나누어떨어지게 하지 않을 것이다.
μὴ μετρείτω πάλιν ὁ Γ τὸν Δ·
다시, Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하지 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
나는 Α도 Β를 나누어떨어지게 하지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρήσει καὶ ὁ Γ τὸν Δ. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ·
왜냐하면 만약 Α가 Β를 나누어떨어지게 하면, Γ도 Δ를 나누어떨어지게 할 것이다. 그러나 Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하지 않는다.
οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει·
그러므로 Α도 Β를 나누어떨어지게 하지 않을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§8.prop.17ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
만약 입방수가 입방수를 나누어떨어지게 하지 않으면 그 변도 변을 나누어떨어지게 하지 않을 것이다.
κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.
또한 변이 변을 나누어떨어지게 하지 않으면 입방수도 입방수를 나누어떨어지게 하지 않을 것이다.
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β μὴ μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ·
입방수 Α가 입방수 Β를 나누어떨어지게 하지 않는다고 하고, Α의 변을 Γ, Β의 변을 Δ라 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ οὐ μετρήσει.
나는 Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
왜냐하면 만약 Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하면, Α도 Β를 나누어떨어지게 할 것이다.
οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β·
그러나 Α가 Β를 나누어떨어지게 하지 않는다.
οὐδʼ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
그러므로 Γ도 Δ를 나누어떨어지게 하지 않는다.
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ·
다시, Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하지 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
나는 Α도 Β를 나누어떨어지게 하지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.
왜냐하면 만약 Α가 Β를 나누어떨어지게 하면, Γ도 Δ를 나누어떨어지게 할 것이다.
οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ·
그러나 Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하지 않는다.
οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει·
그러므로 Α도 Β를 나누어떨어지게 하지 않을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.