§8.prop.13ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ πολλαπλασιάσας ἕκαστος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἀνάλογον ἔσονται· καὶ ἐὰν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, καὶ αὐτοὶ ἀνάλογον ἔσονται.
如果有任意多个连比例数，且每一个数乘以自身生成某个数，则由它们生成的那些数也成比例；如果最初的数乘以那些生成的数而生成某些数，则这些数也将成比例。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ Α, Β, Γ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, καὶ οἱ Α, Β, Γ ἑαυτοὺς μὲν πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε, Ζ ποιείτωσαν, τοὺς δὲ Δ, Ε, Ζ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Θ, Κ ποιείτωσαν· λέγω, ὅτι οἵ τε Δ, Ε, Ζ καὶ οἱ Η, Θ, Κ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
设连比例数为任意多个 Α、Β、Γ，如 Α 对 Β 就像 Β 对 Γ，且设 Α、Β、Γ 乘以自身分别生成 Δ、Ε、Ζ，且乘以 Δ、Ε、Ζ 分别生成 Η、Θ、Κ；我声称，Δ、Ε、Ζ 以及 Η、Θ、Κ 也都依次成比例。
ὁ μὲν γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Α, Β τὸν Λ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Μ, Ν ποιείτω.
因为，设 Α 乘以 Β 生成 Λ，且 Α、Β 中的每一个乘以 Λ 分别生成 Μ、Ν 中的每一个。
καὶ πάλιν ὁ μὲν Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Β, Γ τὸν Ξ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ο, Π ποιείτω.
再次，设 Β 乘以 Γ 生成 Ξ，且 Β、Γ 中的每一个乘以 Ξ 分别生成 Ο、Π 中的每一个。
ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι οἱ Δ, Λ, Ε καὶ οἱ Η, Μ, Ν, Θ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ, καὶ ἔτι οἱ Ε, Ξ, Ζ καὶ οἱ Θ, Ο, Π, Κ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Β πρὸς τὸν Γ λόγῳ.
与上面类似，我们将证明：Δ、Λ、Ε 以及 Η、Μ、Ν、Θ 是以 Α 对 Β 的比而依次成比例的，并且进一步地，Ε、Ξ、Ζ 以及 Θ、Ο、Π、Κ 也是以 Β 对 Γ 的比而依次成比例的。
καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ· καὶ οἱ Δ, Λ, Ε ἄρα τοῖς Ε, Ξ, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ ἔτι οἱ Η, Μ, Ν, Θ τοῖς Θ, Ο, Π, Κ. καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν τῶν Δ, Λ, Ε πλῆθος τῷ τῶν Ε, Ξ, Ζ πλήθει, τὸ δὲ τῶν Η, Μ, Ν, Θ τῷ τῶν Θ, Ο, Π, Κ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς μὲν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
又因为 Α 对 Β 就像 Β 对 Γ；所以 Δ、Λ、Ε 对 Ε、Ξ、Ζ 在相同的比中，并且进一步地，Η、Μ、Ν、Θ 对 Θ、Ο、Π、Κ 也在相同的比中。 且 Δ、Λ、Ε 的数量等于 Ε、Ξ、Ζ 的数量，Η、Μ、Ν、Θ 的数量也等于 Θ、Ο、Π、Κ 的数量；因此，由等比定理，Δ 对 Ε 就像 Ε 对 Ζ，而 Η 对 Θ 就像 Θ 对 Κ；这就是所要证明的。
§8.prop.14ἐὰν τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
如果一个平方数整除另一个平方数，则其边也整除其边；如果边整除边，则平方数也整除平方数。
ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Β μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
设平方数为 Α、Β，且它们的边为 Γ、Δ，并设 Α 整除 Β；我声称，Γ 也整除 Δ。
ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω· οἱ Α, Ε, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
因为，设 Γ 乘以 Δ 生成 Ε；因此 Α、Ε、Β 在 Γ 对 Δ 的比中是连比例数。
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.
πάλιν δὴ ὁ Γ τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
又因为 Α、Ε、Β 是连比例数，且 Α 整除 Β，所以 Α 也整除 Ε。 而 Α 对 Ε 就像 Γ 对 Δ；所以 Γ 也整除 Δ。 再次，设 Γ 整除 Δ；我声称，Α 也整除 Β。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
因为在同样的作图下，我们同样可以证明 Α、Ε、Β 在 Γ 对 Δ 的比中是连比例数。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε, μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί εἰσιν οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογον· μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β.
ἐὰν ἄρα τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
且因为 Γ 对 Δ 就像 Α 对 Ε，且 Γ 整除 Δ，所以 Α 也整除 Ε。 又因为 Α、Ε、Β 是连比例数；所以 Α 也整除 Β。 因此，如果一个平方数整除另一个平方数，则其边也整除其边；如果边整除边，则平方数也整除平方数；这就是所要证明的。