§8.prop.15ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
もし立方数が立方数を割り切るならば、その辺も辺を割り切るであろう。
καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.
また、もし辺が辺を割り切るならば、立方数も立方数を割り切るであろう。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον τὸν Β μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ·
立方数 Α が立方数 Β を割り切るとし、 Α の辺を Γ、 Β の辺を Δ とせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
私は、 Γ が Δ を割り切ると主張する。
ὁ Γ γὰρ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ, ἑκάτερος δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω.
なぜなら、 Γ は自分自身を掛けて Ε を作るとし、 Δ は自分自身を掛けて Η を作るとし、さらに Γ は Δ を掛けて Ζ を作るとせよ。 そして Γ, Δ のそれぞれは Ζ を掛けて Θ, Κ のそれぞれを作るとせよ。
φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε, Ζ, Η καὶ οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
すると、 Ε, Ζ, Η および Α, Θ, Κ, Β が Γ の Δ に対する比において次々に比例することは明らかである。
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Θ, κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ τὸν Θ. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
そして、 Α, Θ, Κ, Β は次々に比例し、 Α は Β を割り切るので、したがって Θ も割り切る。 そして、 Α の Θ に対する比は Γ の Δ に対する比と同じである。
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.
ἀλλὰ δὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ·
したがって Γ も Δ を割り切る。 次に、 Γ が Δ を割り切るとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
私は、 Α も Β を割り切るであろうと主張する。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Θ, Κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
なぜなら、同じ構成をすれば、同様にして、 Α, Θ, Κ, Β が Γ の Δ に対する比において次々に比例することを示すことができる。
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ, καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Θ μετρεῖ·
そして、 Γ は Δ を割り切り、 Γ の Δ に対する比は Α の Θ に対する比と同じであるので、したがって Α も Θ を割り切る。
ὥστε καὶ τὸν Β μετρεῖ ὁ Α·
それゆえ、 Α は Β も割り切る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§8.prop.16ἐὰν τετράγωνος ἀριθμὸς τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
もし平方数が平方数を割り切らないならば、その辺も辺を割り切らないであろう。
κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
また、もし辺が辺を割り切らないならば、平方数も平方数を割り切らないであろう。
῎ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, καὶ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Β·
平方数を Α, Β とし、それらの辺を Γ, Δ とし、 Α は Β を割り切らないとせよ。
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
私は、 Γ も Δ を割り切らないと主張する。
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, μετρήσει καὶ ὁ Α τὸν Β. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β·
なぜなら、もし Γ が Δ を割り切るならば、 Α も Β を割り切るであろう。 しかし Α は Β を割り切らない。
οὐδὲ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.
したがって Γ も Δ を割り切らないであろう。
μὴ μετρείτω πάλιν ὁ Γ τὸν Δ·
次に、 Γ が Δ を割り切らないとせよ。
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
私は、 Α も Β を割り切らないであろうと主張する。
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρήσει καὶ ὁ Γ τὸν Δ. οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ·
なぜなら、もし Α が Β を割り切るならば、 Γ も Δ を割り切るであろう。 しかし Γ は Δ を割り切らない。
οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει·
したがって Α も Β を割り切らないであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§8.prop.17ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
もし立方数が立方数を割り切らないならば、その辺も辺を割り切らないであろう。
κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει.
また、もし辺が辺を割り切らないならば、立方数も立方数を割り切らないであろう。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β μὴ μετρείτω, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ·
立方数 Α が立方数 Β を割り切らないとし、 Α の辺を Γ、 Β の辺を Δ とせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ οὐ μετρήσει.
私は、 Γ は Δ を割り切らないであろうと主張する。
εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ, καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
なぜなら、もし Γ が Δ を割り切るならば、 Α も Β を割り切るであろう。
οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β·
しかし Α は Β を割り切らない。
οὐδʼ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
したがって Γ も Δ を割り切らない。
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ·
次に、 Γ が Δ を割り切らないとせよ。
λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α τὸν Β μετρήσει.
私は、 Α も Β を割り切らないであろうと主張する。
εἰ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει.
なぜなら、もし Α が Β を割り切るならば、 Γ も Δ を割り切るであろう。
οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ·
しかし Γ は Δ を割り切らない。
οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει·
したがって Α も Β を割り切らないであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。