§8.prop.13ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ πολλαπλασιάσας ἕκαστος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἀνάλογον ἔσονται·
만약 임의의 개수의 수들이 차례로 비례하고, 각 수가 자신을 곱하여 어떤 수를 만든다면, 그것들로부터 생긴 수들도 비례할 것이다.
καὶ ἐὰν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, καὶ αὐτοὶ ἀνάλογον ἔσονται.
또한 만약 처음의 수들이 그 생긴 수들을 곱하여 어떤 수들을 만든다면, 이것들 또한 비례할 것이다.
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ Α, Β, Γ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, καὶ οἱ Α, Β, Γ ἑαυτοὺς μὲν πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε, Ζ ποιείτωσαν, τοὺς δὲ Δ, Ε, Ζ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Θ, Κ ποιείτωσαν·
차례로 비례하는 임의의 개수의 수를 Α, Β, Γ라 하고, Α의 Β에 대한 비는 Β의 Γ에 대한 비와 같다고 하자. 그리고 Α, Β, Γ는 자신을 곱하여 Δ, Ε, Ζ를 만들고, Δ, Ε, Ζ를 곱하여 Η, Θ, Κ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι οἵ τε Δ, Ε, Ζ καὶ οἱ Η, Θ, Κ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
나는 Δ, Ε, Ζ와 Η, Θ, Κ도 차례로 비례한다고 주장한다.
ὁ μὲν γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Α, Β τὸν Λ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Μ, Ν ποιείτω.
왜냐하면 Α는 Β를 곱하여 Λ를 만들고, Α, Β 각각은 Λ를 곱하여 Μ, Ν 각각을 만든다고 하자.
καὶ πάλιν ὁ μὲν Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Β, Γ τὸν Ξ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ο, Π ποιείτω.
그리고 다시 Β는 Γ를 곱하여 Ξ를 만들고, Β, Γ 각각은 Ξ를 곱하여 Ο, Π 각각을 만든다고 하자.
ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι οἱ Δ, Λ, Ε καὶ οἱ Η, Μ, Ν, Θ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ, καὶ ἔτι οἱ Ε, Ξ, Ζ καὶ οἱ Θ, Ο, Π, Κ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Β πρὸς τὸν Γ λόγῳ.
위에서 보여준 것과 마찬가지로, 우리는 Δ, Λ, Ε 및 Η, Μ, Ν, Θ가 Α의 Β에 대한 비로 차례로 비례한다는 것과, 나아가 Ε, Ξ, Ζ 및 Θ, Ο, Π, Κ도 Β의 Γ에 대한 비로 차례로 비례한다는 것을 증명할 것이다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ·
그리고 Α의 Β에 대한 비는 Β의 Γ에 대한 비와 같다.
καὶ οἱ Δ, Λ, Ε ἄρα τοῖς Ε, Ξ, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ ἔτι οἱ Η, Μ, Ν, Θ τοῖς Θ, Ο, Π, Κ. καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν τῶν Δ, Λ, Ε πλῆθος τῷ τῶν Ε, Ξ, Ζ πλήθει, τὸ δὲ τῶν Η, Μ, Ν, Θ τῷ τῶν Θ, Ο, Π, Κ·
그러므로 Δ, Λ, Ε는 Ε, Ξ, Ζ와 같은 비를 가지고, 나아가 Η, Μ, Ν, Θ도 Θ, Ο, Π, 코와 같은 비를 가진다. 그리고 Δ, Λ, Ε의 개수는 Ε, Ξ, Ζ의 개수와 같고, Η, Μ, Ν, Θ의 개수는 Θ, Ο, Π, Κ의 개수와 같다.
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς μὲν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ·
그러므로 등비의 이치에 따라, Δ의 Ε에 대한 비는 Ε의 Ζ에 대한 비와 같고, Η의 Θ에 대한 비는 Θ의 Κ에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§8.prop.14ἐὰν τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
만약 제곱수가 제곱수를 나누어떨어지게 하면 그 변도 변을 나누어떨어지게 할 것이다.
καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
또한 변이 변을 나누어떨어지게 하면 제곱수도 제곱수를 나누어떨어지게 할 것이다.
ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Β μετρείτω·
제곱수를 Α, Β라 하고 그 변들을 Γ, Δ라 하자. 그리고 Α가 Β를 나누어떨어지게 한다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
나는 Γ도 Δ를 나누어떨어지게 한다고 주장한다.
ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω·
왜냐하면 Γ는 Δ를 곱하여 Ε를 만든다고 하자.
οἱ Α, Ε, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
그러면 Α, Ε, Β는 Γ의 Δ에 대한 비로 차례로 비례한다.
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
그리고 Α, Ε, Β가 차례로 비례하고 Α가 Β를 나누어떨어지게 하므로, 그러므로 Α는 Ε도 나누어떨어지게 한다. 그런데 Α의 Ε에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다.
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.
πάλιν δὴ ὁ Γ τὸν Δ μετρείτω·
그러므로 Γ도 Δ를 나누어떨어지게 한다. 다시, Γ가 Δ를 나누어떨어지게 한다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
나는 Α도 Β를 나누어떨어지게 한다고 주장한다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
왜냐하면 같은 구성에 따라, 마찬가지로 우리는 Α, Ε, Β가 Γ의 Δ에 대한 비로 차례로 비례한다는 것을 증명할 것이다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε, μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί εἰσιν οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογον·
그리고 Γ의 Δ에 대한 비는 Α의 Ε에 대한 비와 같고, Γ가 Δ를 나누어떨어지게 하므로, 그러므로 Α는 Ε도 나누어떨어지게 한다. 그리고 Α, Ε, Β는 차례로 비례한다.
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β.
ἐὰν ἄρα τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
그러므로 Α도 Β를 나누어떨어지게 한다. 그러므로 만약 제곱수가 제곱수를 나누어떨어지게 하면 그 변도 변을 나누어떨어게 할 것이다.
καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει·
또한 변이 변을 나누어떨어지게 하면 제곱수도 제곱수를 나누어떨어지게 할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.