§8.prop.11δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
在两个平方数之间有一个比例中项，且平方数对平方数的比，是边对边的比的二倍比。
ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω.
设平方数为 Α、Β，且 Α 的边为 Γ，Β 的边为 Δ；我声称，在 Α、Β 之间有一个比例中项，且 Α 对 Β 的比是 Γ 对 Δ 的比的二倍比。 因为，设 Γ 乘以 Δ 生成了 Ε。
καὶ ἐπεὶ τετράγωνός ἐστιν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ Γ, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
又因为 Α 是平方数，且它的边是 Γ，所以 Γ 乘以其自身生成了 Α。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
同理，Δ 乘以其自身生成了 Β。
ἐπεὶ οὖν ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.
因为 Γ 乘以 Γ、Δ 中的每一个分别生成了 Α、Ε 中的每一个，所以，Γ 对 Δ 就像 Α 对 Ε。 同理，Γ 对 Δ 就像 Ε 对 Β。 所以，Α 对 Ε 就像 Ε 对 Β。 所以在 Α、Β 之间有一个比例中项。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ε, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ε. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πλευρὰ πρὸς τὴν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
我接着声称，Α 对 Β 的比也是 Γ 对 Δ 的比的二倍比。 因为三个数 Α、Ε、Β 是成比例的，所以 Α 对 Β 的比是 Α 对 Ε 的比的二倍比。 但 Α 对 Ε 就像 Γ 对 Δ；所以 Α 对 Β 的比也是边 Γ 对 Δ 的比的二倍比；这就是所要证明的。
§8.prop.12δύο κύβων ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
在两个立方数之间有两个比例中项，且立方数对立方数的比，是边对边的比的三倍比。
ἔστωσαν κύβοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
ὁ γὰρ Γ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω.
设立方数为 Α、Β，且 Α 的边为 Γ，Β 的边为 Δ；我声称，在 Α、Β 之间有两个比例中项，且 Α 对 Β 的比是 Γ 对 Δ 的比的三倍比。 因为，设 Γ 乘以其自身生成了 Ε，乘以 Δ 生成了 Ζ，而 Δ 乘以其自身生成了 Η，且 Γ、Δ 中的每一个乘以 Ζ 生成了 Θ、Κ 中的每一个。
καὶ ἐπεὶ κύβος ἐστὶν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
又因为 Α 是立方数，且它的边是 Γ，并且 Γ 乘以其自身生成了 Ε，所以 Γ 乘以其自身生成了 Ε，且乘以 Ε 生成了 Α。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
同理，Δ 乘以其自身生成了 Η，且乘以 Η 生成了 Β。
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. ὡς δὲ ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
又因为 Γ 乘以 Γ、Δ 中的每一个分别生成了 Ε、Ζ 中的每一个，所以，Γ 对 Δ 就像 Ε 对 Ζ。 同理，Γ 对 Δ 就像 Ζ 对 Η。 再次，因为 Γ 乘以 Ε、Ζ 中的每一个分别生成了 Α、Θ 中的每一个，所以，Ε 对 Ζ 就像 Α 对 Θ。 但 Ε 对 Ζ 就像 Γ 对 Δ；所以，Γ 对 Δ 就像 Α 对 Θ。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
再次，因为 Γ、Δ 中的每一个乘以 Ζ 分别生成了 Θ、Κ 中的每一个，所以，Γ 对 Δ 就像 Θ 对 Κ。 再次，因为 Δ 乘以 Ζ、Η 中的每一个分别生成了 Κ、Β 中的每一个，所以，Ζ 对 Η 就像 Κ 对 Β。 但 Ζ 对 Η 就像 Γ 对 Δ；所以，Γ 对 Δ 就像 Α 对 Θ、Θ 对 Κ 且 Κ 对 Β。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Θ, Κ.
λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Θ, Κ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Θ. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以在 Α、Β 之间有两个比例中项 Θ、Κ。 我接着声称，Α 对 Β 也有 Γ 对 Δ 的比的三倍比。 因为四个数 Α、Θ、Κ、Β 是成比例的，所以 Α 对 Β 的比是 Α 对 Θ 的比的三倍比。 但 Α 对 Θ 就像 Γ 对 Δ；所以 Α 对 Β 的比是 Γ 对 Δ 的比的三倍比；这就是所要证明的。