§8.prop.13ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ πολλαπλασιάσας ἕκαστος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἀνάλογον ἔσονται·
任意の個数の数が次々に比例しており、各々が自分自身を掛けてある数を作るならば、それらから生じた数たちも次々に比例するであろう。
καὶ ἐὰν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, καὶ αὐτοὶ ἀνάλογον ἔσονται.
また、もし最初の数たちが、それら生じた数たちを掛けてある数たちを作るならば、これらもまた次々に比例するであろう。
ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ Α, Β, Γ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, καὶ οἱ Α, Β, Γ ἑαυτοὺς μὲν πολλαπλασιάσαντες τοὺς Δ, Ε, Ζ ποιείτωσαν, τοὺς δὲ Δ, Ε, Ζ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Θ, Κ ποιείτωσαν·
任意の個数の次々に比例する数を Α, Β, Γ とし、 Α の Β に対する比は Β の Γ に対する比と同じであるとせよ。 そして Α, Β, Γ は自分自身を掛けて Δ, Ε, Ζ を作るとし、さらにそれらによって Δ, Ε, Ζ を掛けて Η, Θ, Κ を作るとせよ。
λέγω, ὅτι οἵ τε Δ, Ε, Ζ καὶ οἱ Η, Θ, Κ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν.
私は、 Δ, Ε, Ζ および Η, Θ, Κ も次々に比例すると主張する。
ὁ μὲν γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Λ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Α, Β τὸν Λ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Μ, Ν ποιείτω.
なぜなら、 Α は Β を掛けて Λ を作るとし、 Α, Β のそれぞれは Λ を掛けて Μ, Ν のそれぞれを作るとせよ。
καὶ πάλιν ὁ μὲν Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ξ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Β, Γ τὸν Ξ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ο, Π ποιείτω.
そして再び、 Β は Γ を掛けて Ξ を作るとし、 Β, Γ のそれぞれは Ξ を掛けて Ο, Π のそれぞれを作るとせよ。
ὁμοίως δὴ τοῖς ἐπάνω δείξομεν, ὅτι οἱ Δ, Λ, Ε καὶ οἱ Η, Μ, Ν, Θ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγῳ, καὶ ἔτι οἱ Ε, Ξ, Ζ καὶ οἱ Θ, Ο, Π, Κ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον ἐν τῷ τοῦ Β πρὸς τὸν Γ λόγῳ.
同様に、我々は以前の命題から、 Δ, Λ, Ε および Η, Μ, Ν, Θ が Α の Β に対する比において次々に比例すること、そしてさらに、 Ε, Ξ, Ζ および Θ, Ο, Π, Κ が Β の Γ に対する比において次々に比例することを示すであろう。
καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ·
そして Α の Β に対する比は、 Β の Γ に対する比と同じである。
καὶ οἱ Δ, Λ, Ε ἄρα τοῖς Ε, Ξ, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ ἔτι οἱ Η, Μ, Ν, Θ τοῖς Θ, Ο, Π, Κ. καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν τῶν Δ, Λ, Ε πλῆθος τῷ τῶν Ε, Ξ, Ζ πλήθει, τὸ δὲ τῶν Η, Μ, Ν, Θ τῷ τῶν Θ, Ο, Π, Κ·
したがって Δ, Λ, Ε も Ε, Ξ, Ζ と同じ比にあり、さらに Η, Μ, Ν, Θ も Θ, Ο, Π, Κ と同じ比にある。 そして、 Δ, Λ, Ε の個数は Ε, Ξ, Ζ の個数に等しく、 Η, Μ, Ν, Θ の個数は Θ, Ο, Π, Κ の個数に等しい。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς μὲν ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ·
したがって、等比の間隔により、 Δ の Ε に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであり、 Η の Θ に対する比は Θ の Κ に対する比と同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§8.prop.14ἐὰν τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
もし平方数が平方数を割り切るならば、その辺も辺を割り切るであろう。
καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει.
また、もし辺が辺を割り切るならば、平方数も平方数を割り切るであろう。
ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ α, Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ, Δ, ὁ δὲ Α τὸν Β μετρείτω·
平方数を Α, Β とし、それらの辺を Γ, Δ とし、 Α が Β を割り切るとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ.
私は、 Γ も Δ を割り切ると主張する。
ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω·
なぜなら、 Γ は Δ を掛けて Ε を作るとせよ。
οἱ Α, Ε, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
したがって Α, Ε, Β は Γ の Δ に対する比において次々に比例する。
καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
そして Α, Ε, Β は次々に比例し、 Α は Β を割り切るので、したがって Α は Ε も割り切る。 そして Α の Ε に対する比は Γ の Δ に対する比と同じであるので、したがって Γ も Δ を割り切る。
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ.
πάλιν δὴ ὁ Γ τὸν Δ μετρείτω·
次に、 Γ が Δ を割り切るとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ.
私は、 Α も Β を割り切ると主張する。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ λόγῳ.
なぜなら、同じ構成をすれば、同様にして、 Α, Ε, Β が Γ の Δ に対する比において次々に比例することを示すことができる。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε, μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ, μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε. καί εἰσιν οἱ Α, Ε, Β ἑξῆς ἀνάλογον·
接着、 Γ の Δ に対する比が Α の Ε に対する比と同じであり、 Γ が Δ を割り切るので、したがって Α も Ε を割り切る。
μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Β.
ἐὰν ἄρα τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει·
そして Α, Ε, Β は次々に比例するので、したがって Α も Β を割り切る。 したがって、もし平方数が平方数を割り切るならば、その辺も辺を割り切るであろう。
καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει·
また、もし辺が辺を割り切るならば、平方数も平方数を割り切るであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。