エウクレイデス · 原論 §8.prop.11-8.prop.12

平方数および立方数の間の比例中項と辺の比

137 / 316 箇所 · ギリシア語

要旨

二つの平方数の間には一つの比例中項が存在し、それらの平方数の比は辺の比の二乗比になること（命題11）、および二つの立方数の間には二つの比例中項が存在し、それらの立方数の比は辺の比の三乗比になること（命題12）を証明する。

§8.prop.11δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.

二つの平方数の間には、一つの比例中項の数があり、平方数の平方数に対する比は、辺の辺に対する比の二重比（二乗の比）を有する。

ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ·

平方数を Α, Β とし、 Α の辺を Γ、 Β のそれを Δ とせよ。

λέγω, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω.

私は、 Α, Β の間には一つの比例中項の数があり、 Α の Β に対する比は、 Γ の Δ に対する比の二重の比を有すると主張する。なぜなら、 Γ は Δ を掛けて Ε を作るとせよ。

καὶ ἐπεὶ τετράγωνός ἐστιν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ Γ, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.

そして Α は平方数であり、その辺は Γ であるので、したがって Γ はそれ自身を掛けて Α を作った。

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.

同じ理由により、 Δ もそれ自身を掛けて Β を作った。

ἐπεὶ οὖν ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.

そこで、 Γ は Γ, Δ のそれぞれを掛けて Α, Ε のそれぞれを作ったので、したがって Γ の Δ に対する比は、 Α の Ε に対する比と同じである。同じ理由により、 Γ の Δ に対する比は、 Ε の Β に対する比と同じである。したがって、 Α の Ε に対する比は、 Ε の Β に対する比と同じである。したがって Α, Β の間には、一つの比例中項の数がある。

λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ε, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ε. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πλευρὰ πρὸς τὴν Δ·

次に、 Α の Β に対する比は、 Γ の Δ に対する比の二重の比を有すると主張する。なぜなら、三つの数 Α, Ε, Β は比例するので、したがって Α の Β に対する比は、 Α の Ε に対する比の二重の比を有する。ところで Α の Ε に対する比は、 Γ の Δ に対する比と同じである。したがって Α の Β に対する比は、辺 Γ の Δ に対する比の二重の比を有する。

ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

これが示すべきことであった。

§8.prop.12δύο κύβων ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.

二つの立方数の間には、二つの比例中項の数があり、立方数の立方数に対する比は、辺の辺に対する比の三重比（三乗の比）を有する。

ἔστωσαν κύβοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ·

立方数を Α, Β とし、 Α の辺を Γ、 Β のそれを Δ とせよ。

λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ γὰρ Γ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω.

私は、 Α, Β の間には二つの比例中項の数があり、 Α の Β に対する比は、 Γ の Δ に対する比の三重の比を有すると主張する。なぜなら、 Γ はそれ自身を掛けて Ε を作り、 Δ を掛けて Ζ を作るとせよ。また Δ はそれ自身を掛けて Η を作り、 Γ, Δ のそれぞれは Ζ を掛けて Θ, Κ のそれぞれを作るとせよ。

καὶ ἐπεὶ κύβος ἐστὶν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.

そして、 Α は立方数であり、その辺は Γ であり、また Γ はそれ自身を掛けて Ε を作ったので、したがって Γ はそれ自身を掛けて Ε を作り、 Ε を掛けて Α を作った。

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.

同じ理由により、 Δ もそれ自身を掛けて Η を作り、 Η を掛けて Β を作った。

καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. ὡς δὲ ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·

そして、 Γ は Γ, Δ のそれぞれを掛けて Ε, Ζ のそれぞれを作ったので、したがって Γ の Δ に対する比は、 Ε の Ζ に対する比と同じである。同じ理由により、 Γ の Δ に対する比は、 Ζ の Η に対する比と同じである。再び、 Γ は Ε, Ζ のそれぞれを掛けて Α, Θ のそれぞれを作ったので、したがって Ε の Ζ に対する比は、 Α の Θ に対する比と同じである。ところで Ε の Ζ に対する比は、 Γ の Δ に対する比と同じである。

καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·

したがって Γ の Δ に対する比は、 Α の Θ に対する比と同じである。再び、 Γ, Δ のそれぞれが Ζ を掛けて Θ, Κ のそれぞれを作ったので、したがって Γ の Δ に対する比は、 Θ の Κ に対する比と同じである。再び、 Δ は Ζ, Η のそれぞれを掛けて Κ, Β のそれぞれを作ったので、したがって Ζ の Η に対する比は、 Κ の Β に対する比と同じである。ところで Ζ の Η に対する比は、 Γ の Δ に対する比と同じである。

καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Θ, Κ. λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Θ, Κ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Θ. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·

したがって Γ の Δ に対する比は、 Α の Θ に対する比、 Θ の Κ に対する比、および Κ の Β に対する比と同じである。したがって Α, Β の間には、二つの比例中項の数 Θ, Κ がある。次に、 Α の Β に対する比は、 Γ の Δ に対する比の三重の比を有すると主張する。なぜなら、四つの数 Α, Θ, Κ, Β は比例するので、したがって Α の Β に対する比は、 Α の Θ に対する比の三重の比を有する。ところで Α の Θ に対する比は、 Γ の Δ に対する比と同じである。

καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

したがって Α の Β に対する比は、 Γ の Δ に対する比の三重の比を有する。これが示すべきことであった。

語釈・文法注

8.prop.11διπλασίονα λόγον — 「二重の比」（倍比）を意味し、現代の「二乗の比」に相当する。二つの比 ¦a:b¦ と ¦A:B¦ について、¦A:B¦ が ¦a:b¦ の二乗比（すなわち ¦A:B = a^2:b^2¦）であることを、ユークリッド幾何学では比の合成に基づいて「二倍の比」と表現する。
8.prop.12τριπλασίονα λόγον — 「三重の比」（三倍比）を意味し、現代の「三乗の比」に相当する。比 ¦A:B¦ が比 ¦a:b¦ の ¦τριπλασίων λόγος¦ であるとは、¦A:B = a^3:b^3¦ であることを意味する。これは比を三つ合成することに由来する。
8.prop.11ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω — 「というのも Γ は Δ を掛けて Ε を作るとせよ」という能動的な構成命令文。能動態アオリスト分詞 ¦πολλαπλασιάσας¦ が主語である ¦ὁ Γ¦ を修飾し、対格の ¦τὸν Δ¦ を直接目的語に取る。ギリシア語の数学テキストでは、掛け算は「数Aが数Bを掛け合わせて数Cを作る」という主体的かつ能動的な構文で表現される。

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エウクレイデス, 原論 §8.prop.11-8.prop.12. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:8.prop.11-8.prop.12

AIによる草稿訳である旨と閲覧日を添えてください。

訳文・注・要旨はAIによる草稿で、読者の指摘により改訂されています。