에우클레이데스 · 기하학 원론 §8.prop.11-8.prop.12

제곱수와 세제곱수 사이의 비례중항과 변의 비

316개 구절 중 137번째 · 그리스어

요약

두 제곱수 사이에는 하나의 비례중항이 존재하고 그 비는 변의 비의 이중비(제곱비)가 됨을 증명하고(명제 11), 두 세제곱수 사이에는 두 개의 비례중항이 존재하고 그 비는 변의 비의 삼중비(세제곱비)가 됨을 증명한다(명제 12).

§8.prop.11δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.

두 제곱수 사이에는 하나의 비례중항인 수가 있고, 제곱수의 제곱수에 대한 비는 변의 변에 대한 비의 이중비(제곱비)를 가진다.

ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ·

제곱수를 Α, Β라 하고, Α의 변을 Γ, Β의 변을 Δ라 하자.

λέγω, ὅτι τῶν Α, Β εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω.

나는 Α, Β 사이에 하나의 비례중항인 수가 있고, Α의 Β에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비의 이중비를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 Γ는 Δ를 곱하여 Ε를 만든다고 하자.

καὶ ἐπεὶ τετράγωνός ἐστιν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ Γ, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.

그리고 Α는 제곱수이고 그 변은 Γ이므로, 그러므로 Γ는 자신을 곱하여 Α를 만들었다.

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.

같은 이유로 Δ도 자신을 곱하여 Β를 만들었다.

ἐπεὶ οὖν ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Ε. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός.

그런데 Γ는 Γ, Δ의 각각을 곱하여 Α, Ε의 각각을 만들었으므로, 그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 Α의 Ε에 대한 비와 같다. 같은 이유로 Γ의 Δ에 대한 비는 Ε의 Β에 대한 비와 같다. 그러므로 Α의 Ε에 대한 비는 Ε의 Β에 대한 비와 같다. 그러므로 Α, Β 사이에는 하나의 비례중항인 수가 있다.

λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Ε, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Ε. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πλευρὰ πρὸς τὴν Δ·

나는 또한 Α의 Β에 대한 비가 Γ의 Δ에 대한 비의 이중비를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 세 수 Α, Ε, Β는 비례하므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Α의 Ε에 대한 비의 이중비를 가진다. 그런데 Α의 Ε에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다. 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 변 Γ의 Δ에 대한 비의 이중비를 가진다.

ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

이것이 증명하고자 했던 것이다.

§8.prop.12δύο κύβων ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.

두 세제곱수 사이에는 두 개의 비례중항인 수가 있고, 세제곱수의 세제곱수에 대한 비는 변의 변에 대한 비의 삼중비(세제곱비)를 가진다.

ἔστωσαν κύβοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β καὶ τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ, τοῦ δὲ Β ὁ Δ·

세제곱수를 Α, Β라 하고, Α의 변을 Γ, Β의 변을 Δ라 하자.

λέγω, ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὁ γὰρ Γ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω, ὁ δὲ Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ ποιείτω.

나는 Α, Β 사이에 두 개의 비례중항인 수가 있고, Α의 Β에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비의 삼중비를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 Γ는 자신을 곱하여 Ε를 만들고, Δ를 곱하여 Ζ를 만든다고 하자. 또한 Δ는 자신을 곱하여 Η를 만들고, Γ, Δ의 각각은 Ζ를 곱하여 Θ, Κ의 각각을 만든다고 하자.

καὶ ἐπεὶ κύβος ἐστὶν ὁ Α, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.

그리고 Α는 세제곱수이고 그 변은 Γ이며, Γ는 자신을 곱하여 Ε를 만들었으므로, 그러므로 Γ는 자신을 곱하여 Ε를 만들었고, Ε를 곱하여 Α를 만들었다.

διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.

같은 이유로 Δ도 자신을 곱하여 Η를 만들었고, Η를 곱하여 Β를 만들었다.

καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. ὡς δὲ ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·

그리고 Γ는 Γ, Δ의 각각을 곱하여 Ε, Ζ의 각각을 만들었으므로, 그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 Ε의 Ζ에 대한 비와 같다. 같은 이유로 Γ의 Δ에 대한 비는 Ζ의 Η에 대한 비와 같다. 다시, Γ는 Ε, Ζ의 각각을 곱하여 Α, Θ의 각각을 만들었으므로, 그러므로 Ε의 Ζ에 대한 비는 Α의 Θ에 대한 비와 같다. 그런데 Ε의 Ζ에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다.

καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Γ, Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ζ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Ζ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·

그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 Α의 Θ에 대한 비와 같다. 다시, Γ, Δ의 각각이 Ζ를 곱하여 Θ, Κ의 각각을 만들었으므로, 그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 Θ의 Κ에 대한 비와 같다. 다시, Δ는 Ζ, Η의 각각을 곱하여 Κ, Β의 각각을 만들었으므로, 그러므로 Ζ의 Η에 대한 비는 Κ의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Ζ의 Η에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다.

καὶ ὡς ἄρα ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Θ καὶ ὁ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Θ, Κ. λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Θ, Κ, Β, ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Α πρὸς τὸν Θ. ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·

그러므로 Γ의 Δ에 대한 비는 Α의 Θ에 대한 비, Θ의 Κ에 대한 비, 그리고 Κ의 Β에 대한 비와 같다. 그러므로 Α, Β 사이에는 두 개의 비례중항 Θ, Κ가 있다. 나는 또한 Α의 Β에 대한 비가 Γ의 Δ에 대한 비의 삼중비를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 네 수 Α, Θ, Κ, Β는 비례하므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Α의 Θ에 대한 비의 삼중비를 가진다. 그런데 Α의 Θ에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비와 같다.

καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Γ의 Δ에 대한 비의 삼중비를 가진다. 이것이 증명하고자 했던 것이다.

어휘·문법 주석

8.prop.11διπλασίονα λόγον — "이중비" 또는 "배비"를 의미하며, 현대 수학의 "제곱의 비"에 해당한다. 고대 그리스 수학에서 두 비 ¦a:b¦와 ¦A:B¦에 대해 ¦A:B¦가 ¦a:b¦의 ¦διπλασίων λόγος¦라는 것은 ¦A:B = a^2:b^2¦임을 나타내며, 이는 비의 합성을 배수로 표현한 것이다.
8.prop.12τριπλασίονα λόγον — "삼중비" 또는 "삼배비"를 의미하며, 현대 수학의 "세제곱의 비"에 해당한다. 비 ¦A:B¦가 비 ¦a:b¦의 ¦τριπλασίων λόγος¦라는 것은 ¦A:B = a^3:b^3¦임을 나타내며, 이는 비를 세 번 합성한 것에서 유래한다.
8.prop.11ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω — "왜냐하면 Γ, Δ를 곱하여 Ε를 만든다고 하자"라는 능동형 구성 명령문. 능동태 아오리스트 분사 ¦πολλαπλασιάσας¦가 주어인 ¦ὁ Γ¦를 수식하고, 대격 목적어 ¦τὸν Δ¦를 직접목적어로 취한다. 그리스 수학 텍스트에서 곱셈은 "수 A가 수 B를 곱하여 수 C를 만든다"라는 능동적 작용으로 통사 구조가 짜인다.

이 구절 인용하기

에우클레이데스, 기하학 원론 §8.prop.11-8.prop.12. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/ko/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:8.prop.11-8.prop.12

AI 초고 번역임과 열람 날짜를 함께 적어 주세요.

번역·주석·요약은 AI가 생성한 초고이며 독자 의견을 반영해 수정됩니다.