§8.prop.10ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἑκατέρου καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἵ τε Δ, Ε καὶ οἱ Ζ, η·
\n두 수의 각각과 단위 사이에 연속하여 비례하는 수들이 끼어든다면, 그들의 각각과 단위 사이에 연속하여 비례하여 끼어드는 수들의 개수만큼, 그 두 수 자체 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어들 것이다.\n왜냐하면 두 수 Α, Β와 단위 Γ 사이에 연속하여 비례하는 수들로 Δ, Ε와 Ζ, η가 끼어든다고 하자.
λέγω, ὅτι ὅσοι ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται. ὁ Δ γὰρ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ ποιείτω.
나는 Α, Β의 각각과 단위 Γ 사이에 연속하여 비례하여 끼어든 수들의 개수만큼, Α, Β 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어들 것이라고 주장한다.\n왜냐하면 Δ는 Ζ를 곱하여 Θ를 만들고, Δ, Ζ의 각각은 Θ를 곱하여 Κ, Λ의 각각을 만든다고 하자.\n그리고 단위 Γ의 수 Δ에 대한 비는 Δ의 Ε에 대한 비와 같으므로, 그러므로 단위 Γ가 수 Δ를 측정하는 횟수와 Δ가 Ε를 측정하는 횟수는 같다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε. ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
그런데 단위 Γ는 수 Δ를 Δ 안에 있는 단위의 개수만큼 측정한다.
καὶ ὁ Δ ἄρα ἀριθμὸς τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
그러므로 수 Δ 역시 Ε를 Δ 안에 있는 단위의 개수만큼 측정한다.
ὁ Δ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν.
그러므로 Δ는 자신을 곱하여 Ε를 만들었다.
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Α, ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Α. ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
다시, Γ의 수 Δ에 대한 비는 Ε의 Α에 대한 비와 같으므로, 그러므로 단위 Γ가 수 Δ를 측정하는 횟수와 Ε가 Α를 측정하는 횟수는 같다. 그런데 단위 Γ는 수 Δ를 Δ 안에 있는 단위의 개수만큼 측정한다.
καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
그러므로 Ε 역시 Α를 Δ 안에 있는 단위의 개수만큼 측정한다.
ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그러므로 Δ는 Ε를 곱하여 Α를 만들었다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
완전히 같은 이유로, Ζ는 자신을 곱하여 Η를 만들었고, Η를 곱하여 Β를 만들었다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. καὶ ὡς ἄρα ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ε, Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
그리고 Δ는 자신을 곱하여 Ε를 만들었고, Ζ를 곱하여 Θ를 만들었으므로, 그러므로 Δ의 Ζ에 대한 비는 Ε의 Θ에 대한 비와 같다. 완전히 같은 이유로 Δ의 Ζ에 대한 비는 Θ의 Η에 대한 비와 같다. 그러므로 Ε의 Θ에 대한 비는 Θ의 Η에 대한 비와 같다. 다시, Δ는 Ε, Θ의 각각을 곱하여 Α, Κ의 각각을 만들었으므로, 그러므로 Ε의 Θ에 대한 비는 Α의 Κ에 대한 비와 같다. 그런데 Ε의 Θ에 대한 비는 Δ의 Ζ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ·
그러므로 Δ의 Ζ에 대한 비는 Α의 독에 대한 비와 같다. 다시, Δ, Ζ의 각각이 Θ를 곱하여 독, Λ의 각각을 만들었으므로, 그러므로 Δ의 Ζ에 대한 비는 독의 Λ에 대한 비와 같다. 그런데 Δ의 Ζ에 대한 비는 Α의 독에 대한 비와 같다. 그러므로 Α의 독에 대한 비는 독의 Λ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἔτι ἐπεὶ ὁ Ζ ἑκάτερον τῶν Θ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
더구나, Ζ는 Θ, Η의 각각을 곱하여 Λ, Β의 각각을 만들었으므로, 그러므로 Θ의 Η에 대한 비는 Λ의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Θ의 Η에 대한 비는 Δ의 Ζ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Λ·
그러므로 Δ의 Ζ에 대한 비는 Λ의 Β에 대한 비와 같다. 그런데 Δ의 Ζ에 대한 비는 Α의 독에 대한 비, 그리고 독의 Λ에 대한 비와 같다는 것도 증명되었다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β. οἱ Α, Κ, Λ, Β ἄρα κατὰ τὸ συνεχὲς ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον.
그러므로 Α의 독에 대한 비는 독의 Λ에 대한 비, 그리고 Λ의 Β에 대한 비와 같다. 그러므로 Α, 독, Λ, Β는 연속하여 차례로 비례한다.
ὅσοι ἄρα ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς Γ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεσοῦνται·
그러므로 Α, Β의 각각과 단위 Γ 사이에 연속하여 비례하여 끼어드는 수들의 개수만큼, Α, Β 사이에도 연속하여 비례하는 수들이 끼어질 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.