§8.prop.10ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἑκατέρου καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
\n二つの数のそれぞれと単位との間に連続して比例する数たちが割り込むならば、それらのそれぞれと単位との間に連続して比例して割り込む数と同じ個数の数たちが、その二つの数の間にも連続して比例して割り込むであろう。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπιπτέτωσαν ἀριθμοὶ οἵ τε Δ, Ε καὶ οἱ Ζ, η·
\nというのも、二つの数 Α, Β と単位 Γ との間に連続して比例する数たちとして、それぞれ Δ, Ε と Ζ, η が割り込むとせよ。
λέγω, ὅτι ὅσοι ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ μονάδος τῆς Γ μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται.
私は、Α, Β のそれぞれと単位 Γ との間に連続して比例して割り込んでいる数と同じ個数の数たちが、Α, Β の間にも連続して比例して割り込むであろうと主張する。
ὁ Δ γὰρ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ ποιείτω, ἑκάτερος δὲ τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ ποιείτω.
\nというのも、Δ は Ζ を掛けて Θ を作り、Δ, Ζ のそれぞれは Θ を掛けて Κ, Λ のそれぞれを作るとせよ。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμόν, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε. ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
\nそして、単位 Γ の数 Δ に対する比は、 Δ の Ε に対する比と同じであるので、したがって単位 Γ が数 Δ を測る回数と、Δ が Ε を測る回数は等しい。 ところで、単位 Γ は数 Δ を Δ の中にある単位の数だけ測る。
καὶ ὁ Δ ἄρα ἀριθμὸς τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
したがって数 Δ も Ε を Δ の中にある単位の数だけ測る。
ὁ Δ ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν.
したがって Δ はそれ自身を掛けて Ε を作った。
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Α, ἰσάκις ἄρα ἡ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Ε τὸν Α. ἡ δὲ Γ μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
再び、 Γ の数 Δ に対する比は、Ε の Α に対する比と同じであるので、したがって単位 Γ が数 Δ を測る回数と、Ε が Α を測る回数は等しい。 ところで、単位 Γ は数 Δ を Δ の中にある単位の数だけ測る。
καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας·
したがって Ε も Α を Δ の中にある単位の数だけ測る。
ὁ Δ ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
したがって Δ は Ε を掛けて Α を作った。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν Ζ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Η πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
まったく同じ理由により、Ζ はそれ自身を掛けて Η を作り、Η を掛けて Β を作った。
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Θ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. καὶ ὡς ἄρα ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον τῶν Ε, Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Α, Κ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
そして、Δ はそれ自身を掛けて Ε を作り、Ζ を掛けて Θ を作ったので、したがって Δ の Ζ に対する比は、Ε の Θ に対する比と同じである。 まったく同じ理由により、 Δ の Ζ に対する比は、Θ の Η に対する比と同じである。 したがって、Ε の Θ に対する比は、Θ の Η に対する比と同じである。 再び、Δ は Ε, Θ のそれぞれを掛けて Α, Κ のそれぞれを作ったので、したがって Ε の Θ に対する比は、Α の Κ に対する比と同じである。 しかし Ε の Θ に対する比は、Δ の Ζ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ. πάλιν, ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν Δ, Ζ τὸν Θ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Κ, Λ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἀλλʼ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Κ·
したがって、Δ の Ζ に対する比は、Α の Κ に対する比と同じである。 再び、Δ, Ζ のそれぞれが Θ を掛けて Κ, Λ のそれぞれを作ったので、したがって Δ の Ζ に対する比は、Κ の Λ に対する比と同じである。 しかし Δ の Ζ に対する比は、Α の Κ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ. ἔτι ἐπεὶ ὁ Ζ ἑκάτερον τῶν Θ, Η πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Λ, Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ὡς δὲ ὁ Θ πρὸς τὸν Η, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ·
したがって、 Α の Κ に対する比は、Κ の Λ に対する比と同じである。 さらに、Ζ は Θ, Η のそれぞれを掛けて Λ, Β のそれぞれを作ったので、したがって Θ の Η に対する比は、Λ の Β に対する比と同じである。 ところで、Θ の Η に対する比は、Δ の Ζ に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Λ πρὸς τὸν Β. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὅ τε Α πρὸς τὸν Κ καὶ ὁ Κ πρὸς τὸν Λ·
したがって、Δ の Ζ に対する比は、Λ の Β に対する比と同じである。 ところで、Δ の Ζ に対する比は、Α の Κ に対する比、および Κ の Λ に対する比と同じであることも示された。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Κ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Λ καὶ ὁ Λ πρὸς τὸν Β. οἱ Α, Κ, Λ, Β ἄρα κατὰ τὸ συνεχὲς ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον.
したがって、Α の Κ に対する比は、Κ の Λ に対する比、および Λ の Β に対する比と同じである。 したがって Α, Κ, Λ, Β は連続して順に比例する。
ὅσοι ἄρα ἑκατέρου τῶν Α, Β καὶ τῆς Γ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς Α, Β μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεσοῦνται·
したがって、Α, Β のそれぞれと単位 Γ との間に連続して比例して割り込む数と同じ個数の数たちが、Α, Β の間にも連続して比例して割り込むであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。