§7.prop.8ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ἅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.
如果一个数是另一个数的若干部分，即引去之数对引去之数所占的那些部分，那么其余数也是其余数的相同若干部分，这与全体对全体所占的相同。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρη ἔστω, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
因为，设数 AB 是数 ΓΔ 的若干部分，即引去之数 AE 对引去之数 ΓΖ 所占的相同若干部分。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΗΘ τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΗΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρη τὰ ΗΚ, ΚΘ, ὁ δὲ ΑΕ εἰς τὰ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΛ, ΛΕ·
我且声称，其余数 EB 也是其余数 ΖΔ 的相同若干部分，这与全体 AB 对全体 ΓΔ 所占的相同。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ, ΚΘ τῷ πλήθει τῶν ΑΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ. κείσθω τῷ ΑΛ ἴσος ὁ ΗΜ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΜ τοῦ ΓΖ·
因为，设置 ΗΘ 等于 AB。 所以，ΗΘ 是 ΓΔ 的什么若干部分，AE 也就是 ΓΖ 的相同若干部分。 设把 ΗΘ 分割为 ΓΔ 的部分 ΗΚ、ΚΘ，把 ΑΕ 分割为 ΓΖ 的部分 ΑΛ、ΛΕ。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ. πάλιν ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΘΚ τοῦ ΕΛ. κείσθω τῷ ΕΛ ἴσος ὁ ΚΝ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΚΝ τοῦ ΓΖ·
那么 ΗΚ、ΚΘ 的个数将等于 ΑΛ、ΛΕ 的个数。 既然， ΗΚ 是 ΓΔ 的什么部分，ΑΛ 也是 ΓΖ 的相同部分，且 ΓΔ 大于 ΓΖ，所以 ΗΚ 也大于 ΑΛ。 设置 ΗΜ 等于 ΑΛ。 所以，ΗΚ 是 ΓΔ 的什么部分，ΗΜ 也就是 ΓΖ 的相同部分；因此其余数 ΜΚ 也是其余数 ΖΔ 的相同部分，这与全体 ΗΚ 对全体 ΓΔ 所占的相同。 再次，既然 ΚΘ 是 ΓΔ 的什么部分，ΕΛ 也是 ΓΖ 的相同部分，且 ΓΔ 大于 ΓΖ，所以 ΘΚ 也大于 ΕΛ。 设置 ΚΝ 等于 ΕΛ。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΝΘ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΚΘ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ λοιπὸς ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ὤν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ· καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ ΜΚ, ΝΘ τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΘΗ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἴσος δὲ συναμφότερος μὲν ὁ ΜΚ, ΝΘ τῷ ΕΒ, ὁ δὲ ΘΗ τῷ ΒΑ·
所以，ΚΘ 是 ΓΔ 的什么部分，ΚΝ 也就是 ΓΖ 的相同部分；因此其余数 ΝΘ 也是其余数 ΖΔ 的相同部分，这与全体 ΚΘ 对全体 ΓΔ 所占的相同。 而且，其余数 ΜΚ 也已被证明是其余数 ΖΔ 的相同部分，这与全体 ΗΚ 对全体 ΓΔ 所占的相同；因此，两者之和 ΜΚ、ΝΘ 也是 ΔΖ 的相同若干部分，这与全体 ΘΗ 对全体 ΓΔ 所占的相同。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而两者之和 ΜΚ、ΝΘ 等于 ΕΒ，且 ΘΗ 等于 ΒΑ；因此，其余数 ΕΒ 也是其余数 ΖΔ 的相同若干部分，这与全体 ΑΒ 对全体 ΓΔ 所占的相同；这就是所要证明的。
§7.prop.9ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου, τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται ἢ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου.
如果一个数是另一个数的一个部分，而另一个数也是另一个数的相同部分，那么交互地，第一个数是第三个数的什么部分或若干部分，第二个数也就是第四个数的相同部分或若干部分。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ·
因为，设数 Α 是数 ΒΓ 的一个部分，且另一个数 Δ 是另一个数 ΕΖ 的相同部分，这与 Α 对 ΒΓ 所占的部分相同。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ μέρη.
我且声称，交互地，Α 是 Δ 的什么部分或若干部分，ΒΓ 也就是 ΕΖ 的相同部分或若干部分。
ἐπεὶ γὰρ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ·
因为，既然 Α 是 ΒΓ 的什么部分， Δ 也是 ΕΖ 的相同部分，所以，在 ΒΓ 中与 Α 相等的数的个数，就与在 ΕΖ 中与 Δ 相等的数的个数相同。 设把 ΒΓ 分割为与 Α 相等的数 ΒΗ、ΗΓ，把 ΕΖ 分割为与 Δ 相等的数 ΕΘ、ΘΖ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΗ, ΗΓ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΓ τοῦ ΘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ συναμφοτέρου τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
那么 ΒΗ、ΗΓ 的个数将等于 ΕΘ、ΘΖ 的个数。 且既然数 ΒΗ、ΗΓ 彼此相等，数 ΕΘ、ΘΖ 也是彼此相等，并且 ΒΗ、ΗΓ 的个数等于 ΕΘ、ΘΖ 的个数，所以，ΒΗ 是 ΕΘ 的什么部分或若干部分，ΗΓ 也就是 ΘΖ 的相同部分或若干部分；因此，ΒΗ 是 ΕΘ 的什么部分或若干部分，两者之和 ΒΓ 也就是两者之和 ΕΖ 的相同部分或若干部分。
ἴσος δὲ ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ· ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 ΒΗ 等于 Α，且 ΕΘ 等于 Δ；所以，Α 是 Δ 的什么部分或若干部分，ΒΓ 也就是 ΕΖ 的相同部分或若干部分；这就是所要证明的。