§7.prop.6ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.
如果一个数是另一个数的若干部分，而另一个数也是另一个数的相同若干部分，那么两者之和也是两者之和的相同若干部分，这与一个数对另一个数所占的若干部分相同。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ·
因为，设数 AB 是数 Γ 的若干部分，且另一个数 ΔΕ 也是另一个数 Ζ 的相同若干部分，这与 AB 对 Γ 所占的若干部分相同。
λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ.
ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ·
我且声称，两者之和 AB、ΔΕ 也是两者之和 Γ、Ζ 的相同若干部分，这与 AB 对 Γ 所占的若干部分相同。 因为，既然 AB 是 Γ 的什么若干部分，ΔΕ 也是 Ζ 的相同若干部分，那么在 AB 中 Γ 的部分的个数，就与在 ΔΕ 中 Ζ 的部分的个数相同。 设把 AB 分割为 Γ 的部分 AH、HB，把 ΔΕ 分割为 Ζ 的部分 ΔΘ、ΘΕ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΗ, ΔΘ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΗΒ, ΘΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ·
那么 AH、HB 的个数将等于 ΔΘ、ΘΕ 的个数。 既然 AH 是 Γ 的什么部分， ΔΘ 也是 Ζ 的相同部分，所以，AH 是 Γ 的什么部分，两者之和 AH、ΔΘ 也就是两者之和 Γ、Ζ 的相同部分。 由于同样的原因，HB 是 Γ 的什么部分，两者之和 HB、ΘΕ 也就是两者之和 Γ、Ζ 的相同部分。 因此，AB 是 Γ 的什么若干部分，两者之和 AB、ΔΕ 也就是两者之和 Γ、Ζ 的相同若干部分。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
§7.prop.7ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.
如果一个数是另一个数的一个部分，即引去之数对引去之数所占的部分，那么其余数也是其余数的相同部分，这与全体对全体所占的部分相同。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρος ἔστω, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
因为，设数 AB 是数 ΓΔ 的一个部分，即引去之数 AE 对引去之数 ΓΖ 所占的那个部分。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ὃ γὰρ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἔστω καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ. ὃ δὲ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ὑπόκειται καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ· ὃ ἄρα μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ·
我且声称，其余数 EB 也是其余数 ΖΔ 的相同部分，这与全体 AB 对全体 ΓΔ 所占的部分相同。 因为，AE 是 ΓΖ 的什么部分，设 EB 也是 ΓΗ 的相同部分。 既然 AE 是 ΓΖ 的什么部分，EB 也是 ΓΗ 的相同部分，所以，AE 是 ΓΖ 的什么部分，AB 也就是 ΗΖ 的相同部分。 而 AE 是 ΓΖ 的什么部分，已假设 AB 也是 ΓΔ 的相同部分；所以，AB 是 ΗΖ 的什么部分，它也就是 ΓΔ 的相同部分；所以 ΗΖ 等于 ΓΔ。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΓΖ·
设引去共同的 ΓΖ，因此其余数 ΗΓ 等于其余数 ΖΔ。
λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσος. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσος δὲ ὁ ΗΓ τῷ ΖΔ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ·
既然 AE 是 ΓΖ 的什么部分，EB 也是 ΗΓ 的相同部分，且 ΗΓ 等于 ΖΔ，所以，AE 是 ΓΖ 的什么部分，EB 也就是 ΖΔ 的相同部分。 但是，AE 是 ΓΖ 的什么部分，AB 也就是 ΓΔ 的相同部分；所以，其余数 EB 也是其余数 ΖΔ 的相同部分，这与全体 AB 对全体 ΓΔ 所占的部分相同。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。