§7.prop.8ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ἅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.
만약 어떤 수가 어떤 수의 여러 부분이고, 빼낸 수가 빼낸 수에 대해 갖는 것과 같은 여러 부분이라면, 남은 수도 남은 수의 동일한 여러 부분일 것이다. 이는 전체가 전체에 대해 갖는 것과 같은 여러 부분이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρη ἔστω, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
수 AB는 수 ΓΔ의 여러 부분이고, 빼낸 AE도 빼낸 ΓΖ의 동일한 여러 부분이라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΗΘ τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΗΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρη τὰ ΗΚ, ΚΘ, ὁ δὲ ΑΕ εἰς τὰ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΛ, ΛΕ·
나는 남은 EB도 남은 ΖΔ의 동일한 여러 부분이라고 주장한다. 이는 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같은 여러 부분이다. 왜냐하면 AB와 같은 ΗΘ를 놓자. 그러면 ΗΘ가 ΓΔ의 어떤 여러 부분인 것과 동일하게 ΑΕ도 ΓΖ의 동일한 여러 부분이다. ΗΘ를 ΓΔ의 부분들인 ΗΚ, ΚΘ로 나누고, ΑΕ를 ΓΖ의 부분들인 ΑΛ, ΛΕ로 나누자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ, ΚΘ τῷ πλήθει τῶν ΑΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ. κείσθω τῷ ΑΛ ἴσος ὁ ΗΜ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΜ τοῦ ΓΖ·
그러면 ΗΚ, ΚΘ의 개수는 ΑΛ, ΛΕ의 개수와 같을 것이다. 그리고 ΗΚ가 ΓΔ의 어떤 부분인 것과 동일하게 ΑΛ도 ΓΖ의 동일한 부분이며, ΓΔ는 ΓΖ보다 크므로 따라서 ΗΚ도 ΑΛ보다 크다. ΑΛ과 같은 ΗΜ을 놓자. 그러면 ΗΚ가 ΓΔ의 어떤 부분인 것과 동일하게 ΗΜ도 ΓΖ의 동일한 부분이다.
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ. πάλιν ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΘΚ τοῦ ΕΛ. κείσθω τῷ ΕΛ ἴσος ὁ ΚΝ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΚΝ τοῦ ΓΖ·
그러므로 남은 ΜΚ도 남은 ΖΔ의 동일한 부분이며, 이는 전체 ΗΚ가 전체 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같다. 다시, ΚΘ가 ΓΔ의 어떤 부분인 것과 동일하게 ΕΛ도 ΓΖ의 동일한 부분이며, ΓΔ는 ΓΖ보다 크므로 따라서 ΘΚ도 ΕΛ보다 크다. ΕΛ과 같은 ΚΝ을 놓자. 그러면 ΚΘ가 ΓΔ의 어떤 부분인 것과 동일하게 ΚΝ도 ΓΖ의 동일한 부분이다.
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΝΘ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΚΘ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ λοιπὸς ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ὤν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ·
그러므로 남은 ΝΘ도 남은 ΖΔ의 동일한 부분이며, 이는 전체 ΚΘ가 전체 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같다. 그런데 남은 ΜΚ도 남은 ΖΔ의 동일한 부분(전체 ΗΚ가 전체 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같은)임이 증명되었다.
καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ ΜΚ, ΝΘ τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΘΗ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἴσος δὲ συναμφότερος μὲν ὁ ΜΚ, ΝΘ τῷ ΕΒ, ὁ δὲ ΘΗ τῷ ΒΑ·
그러므로 둘을 합한 ΜΚ, ΝΘ도 ΔΖ의 동일한 여러 부분이며, 이는 전체 ΘΗ가 전체 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같은 여러 부분이다. 그런데 둘을 합한 ΜΚ, ΝΘ는 ΕΒ와 같고, ΘΗ는 ΒΑ와 같다.
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ·
그러므로 남은 ΕΒ도 남은 ΖΔ의 동일한 여러 부분이며, 이는 전체 ΑΒ가 전체 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같은 여러 부분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.9ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου, τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται ἢ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου.
만약 어떤 수가 어떤 수의 한 부분이고, 다른 수도 다른 수의 동일한 부분이라면, 서로 바꾸어도, 첫 번째 수가 세 번째 수의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일한 부분 또는 여러 부분에 두 번째 수도 네 번째 수에 대해 있을 것이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ·
수 Α는 수 ΒΓ의 한 부분이고, 다른 수 Δ도 다른 수 ΕΖ의 동일한 부분이라고 하자. 이는 Α가 ΒΓ에 대해 갖는 것과 같은 부분이다.
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ μέρη.
나는 서로 바꾸어도, Α가 Δ의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 ΒΓ도 ΕΖ의 동일한 부분 또는 여러 부분이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ·
왜냐하면 Α가 ΒΓ의 어떤 부분인 것과 동일하게 Δ도 ΕΖ의 동일한 부분이므로, 따라서 ΒΓ 안에 있는 Α와 같은 수들의 개수만큼 ΕΖ 안에도 Δ와 같은 수들의 개수가 있기 때문이다. ΒΓ를 Α와 같은 수들인 ΒΗ, ΗΓ로 나누고, ΕΖ를 Δ와 같은 수들인 ΕΘ, ΘΖ로 나누자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΗ, ΗΓ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΓ τοῦ ΘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη·
그러면 ΒΗ, ΗΓ의 개수는 ΕΘ, ΘΖ의 개수와 같을 것이다. 그리고 수들 ΒΗ, ΗΓ는 서로 같고, 수들 ΕΘ, ΘΖ도 서로 같으며, ΒΗ, ΗΓ의 개수는 ΕΘ, ΘΖ의 개수와 같으므로, 따라서 ΒΗ가 ΕΘ의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 ΗΓ도 ΘΖ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ συναμφοτέρου τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
그러므로 ΒΗ가 ΕΘ의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 둘을 합한 ΒΓ도 둘을 합한 ΕΖ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
ἴσος δὲ ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ·
그런데 ΒΗ는 Α와 같고, ΕΘ는 Δ와 같다.
ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη·
그러므로 Α가 Δ의 어떤 부분 또는 여러 부분인 것과 동일하게 ΒΓ도 ΕΖ의 동일한 부분 또는 여러 부분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.