§7.prop.8ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ἅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.
もしある数がある数の複数部分であり、引かれるものが引かれるもののその同じ複数部分であるならば、残りの数も残りの数の同じ複数部分となるであろう。 それは、全体が全体のそれであるのと同じ複数部分である。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρη ἔστω, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
なぜなら、数 AB は数 ΓΔ の複数部分であるとし、引かれる AE も引かれる ΓΖ の同じ複数部分であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
κείσθω γὰρ τῷ ΑΒ ἴσος ὁ ΗΘ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΗΘ τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΗΘ εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρη τὰ ΗΚ, ΚΘ, ὁ δὲ ΑΕ εἰς τὰ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ ΑΛ, ΛΕ·
私は、残りの EB も残りの ΖΔ の同じ複数部分であると主張する。 それは、全体 AB が全体 ΓΔ に対するのと同じである。 なぜなら、 AB に等しい ΗΘ が置かれるとせよ。 したがって、ΗΘ が ΓΔ の複数部分であるのと同じ複数部分を、ΑΕ も ΓΖ に対して持っている。 ΗΘ を ΓΔ の部分である ΗΚ, ΚΘ に分割し、ΑΕ を ΓΖ の部分である ΑΛ, ΛΕ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ, ΚΘ τῷ πλήθει τῶν ΑΛ, ΛΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΗΚ τοῦ ΑΛ. κείσθω τῷ ΑΛ ἴσος ὁ ΗΜ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΜ τοῦ ΓΖ·
すると、ΗΚ, ΚΘ の個数は ΑΛ, ΛΕ の個数に等しくなる。 そして、ΗΚ が ΓΔ の部分であるのと同じ部分を、ΑΛ も ΓΖ に対して持っており、しかも ΓΔ は ΓΖ より大きいので、したがって ΗΚ も ΑΛ より大きい。 ΑΛ に等しい ΗΜ が置かれるとせよ。 したがって、ΗΚ が ΓΔ の部分であるのと同じ部分を、ΗΜ も ΓΖ に対して持っている。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ. πάλιν ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΛ τοῦ ΓΖ, μείζων δὲ ὁ ΓΔ τοῦ ΓΖ, μείζων ἄρα καὶ ὁ ΘΚ τοῦ ΕΛ. κείσθω τῷ ΕΛ ἴσος ὁ ΚΝ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΚΝ τοῦ ΓΖ·
したがって、残りの ΜΚ も残りの ΖΔ の同じ部分である。 それは、全体 ΗΚ が全体 ΓΔ に対するのと同じである。 再び、ΚΘ が ΓΔ の部分であるのと同じ部分を、ΕΛ も ΓΖ に対して持っており、しかも ΓΔ は ΓΖ より大きいので、したがって ΘΚ も ΕΛ より大きい。 ΕΛ に等しい ΚΝ が置かれるとせよ。 したがって、ΚΘ が ΓΔ の部分であるのと同じ部分を、ΚΝ も ΓΖ に対して持っている。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΝΘ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΚΘ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ λοιπὸς ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ὤν, ὅπερ ὅλος ὁ ΗΚ ὅλου τοῦ ΓΔ·
したがって、残りの ΝΘ も残りの ΖΔ の同じ部分である。 それは、全体 ΚΘ が全体 ΓΔ に対するのと同じである。 そして、残りの ΜΚ も残りの ΖΔ の同じ部分（全体 ΗΚ が全体 ΓΔ に対するのと同じ）であることが示されていた。
καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ ΜΚ, ΝΘ τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΘΗ ὅλου τοῦ ΓΔ. ἴσος δὲ συναμφότερος μὲν ὁ ΜΚ, ΝΘ τῷ ΕΒ, ὁ δὲ ΘΗ τῷ ΒΑ·
したがって、合わせた ΜΚ, ΝΘ も ΔΖ の同じ複数部分である。 それは、全体 ΘΗ が全体 ΓΔ に対するのと同じ複数部分である。 ところが、合わせた ΜΚ, ΝΘ は ΕΒ に等しく、ΘΗ は ΒΑ に等しい。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ·
したがって、残りの ΕΒ も残りの ΖΔ の同じ複数部分である。 それは、全体 ΑΒ が全体 ΓΔ に対するのと同じ複数部分である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.9ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου, τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται ἢ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου.
もしある数がある数の部分であり、別の数も別の数のその同じ部分であるならば、交互にしても、第1の数が第3の数の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、第2の数も第4の数に対してあるであろう。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ·
なぜなら、数 Α は数 ΒΓ の部分であるとし、別の数 Δ も別の数 ΕΖ の同じ部分であるとせよ、Α が ΒΓ に対するのと同じである。
λέγω, ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ μέρη.
私は、交互にしても、Α が Δ の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、ΒΓ も ΕΖ に対してあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ·
なぜなら、Α が ΒΓ の部分であるのと同じ部分に Δ も ΕΖ の部分であるので、したがって ΒΓ の中にある Α に等しい数の個数と、ΕΖ の中にある Δ に等しい数の個数は等しい。 ΒΓ を Α に等しい数 ΒΗ, ΗΓ に分割し、ΕΖ を Δ に等しい数 ΕΘ, ΘΖ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ.
καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΒΗ, ΗΓ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΓ τοῦ ΘΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη·
すると、ΒΗ, ΗΓ の個数は ΕΘ, ΘΖ の個数に等しくなる。 そして、数 ΒΗ, ΗΓ は互いに等しく、また数 ΕΘ, ΘΖ も互いに等しく、しかも ΒΗ, ΗΓ の個数は ΕΘ, ΘΖ の個数に等しいので、したがって ΒΗ が ΕΘ の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、ΗΓ も ΘΖ に対してある。
ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ συναμφοτέρου τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη.
したがって、ΒΗ が ΕΘ の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、合わせた ΒΓ も合わせた ΕΖ に対してもある。
ἴσος δὲ ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ·
ところが、ΒΗ は Α に等しく、ΕΘ は Δ に等しい。
ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ Δ ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΒΓ τοῦ ΕΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη·
したがって、Α が Δ の部分または複数部分であるのと同じ部分または複数部分に、ΒΓ も ΕΖ に対してもある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。