§7.prop.6ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.
もしある数がある数の複数部分であり、別の数もまた別の数のそれと同じ複数部分であるならば、それらを合わせたものもまた、それらを合わせたものの同じ複数部分となるであろう。 それは、一方が一方に対してそうであるのと同じ複数部分である。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ·
なぜなら、数 AB は数 Γ の複数部分であるとし、別の数 ΔΕ も別の数 Ζ のそれと同じ複数部分であるとせよ、ΑΒ が Γ に対するのと同じである。
λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ.
ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ·
私は、合わせた ΑΒ, ΔΕ も、合わせた Γ, Ζ の同じ複数部分であると主張する。 それは、ΑΒ が Γ に対するのと同じである。 なぜなら、AB が Γ の複数部分であるのと同じ複数部分を、ΔΕ も Ζ に対して持っているので、AB の中にある Γ の部分の個数と、ΔΕ の中にある Ζ の部分の個数は等しい。 AB を Γ の部分である AH, HB に分割し、ΔΕ を Ζ の部分である ΔΘ, ΘΕ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΗ, ΔΘ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΗΒ, ΘΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ·
すると、AH, HB の個数は ΔΘ, ΘΕ の個数に等しくなる。 そして、AH が Γ の部分であるのと同じ部分を、 ΔΘ も Ζ に対して持っているので、したがって AH が Γ の部分であるのと同じ部分に、合わせた AH, ΔΘ も合わせた Γ, Ζ の部分である。 同じ理由により、HB が Γ の部分であるのと同じ部分に、合わせた HB, ΘΕ も合わせた Γ, Ζ の部分である。 したがって、AB が Γ の複数部分であるのと同じ複数部分に、合わせた AB, ΔΕ も合わせた Γ, Ζ の複数部分である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.7ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.
もしある数がある数の部分であり、引かれるものが引かれるもののその同じ部分であるならば、残りは残りの同じ部分となるであろう。 それは、全体が全体のそれであるのと同じ部分である。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρος ἔστω, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
なぜなら、数 AB は数 ΓΔ の部分であるとし、引かれる AE も引かれる ΓΖ の同じ部分であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ὃ γὰρ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἔστω καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ. ὃ δὲ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ὑπόκειται καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
私は、残りの EB も残りの ΖΔ の同じ部分であると主張する。 それは、全体 AB が全体 ΓΔ に対するのと同じである。 なぜなら、AE が ΓΖ の部分であるのと同じ部分に、EB が ΓΗ の部分であるとせよ。 そして、AE が ΓΖ の部分であるのと同じ部分を、EB も ΓΗ に対して持っているので、したがって AE が ΓΖ の部分であるのと同じ部分に、AB も ΗΖ の部分である。 ところが、AE が ΓΖ の部分であるのと同じ部分に、AB は ΓΔ の部分であると仮定されている。
ὃ ἄρα μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ·
したがって、AB が ΗΖ の部分であるのと同じ部分に、ΓΔ の部分でもある。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΓΖ·
したがって ΗΖ は ΓΔ に等しい。 共通のものとして ΓΖ が引かれるものとせよ。
λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσος.
したがって、残りの ΗΓ は残りの ΖΔ に等しい。
καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσος δὲ ὁ ΗΓ τῷ ΖΔ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
そして、AE が ΓΖ の部分であるのと同じ部分を、EB も ΗΓ に対して持っており、しかも ΗΓ は ΖΔ に等しいのであるから、したがって AE が ΓΖ の部分であるのと同じ部分に、EB も ΖΔ の部分である。 ところが、AE が ΓΖ の部分であるのと同じ部分に、AB も ΓΔ の部分である。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ·
したがって、残りの EB も残りの ΖΔ の同じ部分である、全体 AB が全体 ΓΔ に対するのと同じである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。