§7.prop.6ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.
만약 어떤 수가 어떤 수의 여러 부분이고, 다른 수가 다른 수의 동일한 여러 부분이라면, 둘을 합한 것도 둘을 합한 것의 동일한 여러 부분일 것이다. 이는 한 수가 다른 한 수에 대해 갖는 것과 같은 여러 부분이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ·
수 AB는 수 Γ의 여러 부분이고, 다른 수 ΔΕ도 다른 수 Ζ의 동일한 여러 부분이라고 하자. 이는 AB가 Γ에 대해 갖는 것과 같은 여러 부분이다.
λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ.
ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ, ΗΒ, ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ·
나는 둘을 합한 AB, ΔΕ도 둘을 합한 Γ, Ζ의 동일한 여러 부분이라고 주장한다. 이는 AB가 Γ에 대해 갖는 것과 같은 여러 부분이다. 왜냐하면 AB가 Γ의 어떤 여러 부분인 것과 동일하게 ΔΕ도 Ζ의 동일한 여러 부분이라서, AB 안에 있는 Γ의 부분들의 개수만큼 ΔΕ 안에도 Ζ의 부분들의 개수가 있기 때문이다. AB를 Γ의 부분들인 AH, HB로 나누고, ΔΕ를 Ζ의 부분들인 ΔΘ, ΘΕ로 나누자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ, ΘΕ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΗ, ΔΘ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΗΒ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΗΒ, ΘΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ, ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ·
그러면 AH, HB의 개수는 ΔΘ, ΘΕ의 개수와 같을 것이다. 그리고 AH가 Γ의 어떤 부분인 것과 동일하게 ΔΘ도 Ζ의 동일한 부분이며, 따라서 AH가 Γ의 어떤 부분인 것과 동일하게 둘을 합한 AH, ΔΘ도 둘을 합한 Γ, Ζ의 동일한 부분이다. 같은 이유로 HB가 Γ의 어떤 부분인 것과 동일하게 둘을 합한 HB, ΘΕ도 둘을 합한 Γ, Ζ의 동일한 부분이다. 그러므로 AB가 Γ의 어떤 여러 부분인 것과 동일하게 둘을 합한 AB, ΔΕ도 둘을 합한 Γ, Ζ의 동일한 여러 부분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.7ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου.
만약 어떤 수가 어떤 수의 한 부분이고, 빼낸 수가 빼낸 수에 대해 갖는 것과 같은 부분이라면, 남은 것도 남은 것의 동일한 부분일 것이다. 이는 전체가 전체에 대해 갖는 것과 같은 부분이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρος ἔστω, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
수 AB는 수 ΓΔ의 한 부분이고, 빼낸 AE도 빼낸 ΓΖ의 동일한 부분이라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ὃ γὰρ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἔστω καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ. ὃ δὲ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ὑπόκειται καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
나는 남은 EB도 남은 ΖΔ의 동일한 부분이라고 주장한다. 이는 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같은 부분이다. 왜냐하면 AE가 ΓΖ의 어떤 부분인 것과 동일한 부분에 EB가 ΓΗ의 부분이라고 하자. 그리고 AE가 ΓΖ의 어떤 부분인 것과 동일하게 EB도 ΓΗ의 동일한 부분이므로, 따라서 AE가 ΓΖ의 어떤 부분인 것과 동일하게 AB도 ΗΖ의 동일한 부분이다. 그런데 AE가 ΓΖ의 어떤 부분인 것과 동일한 부분에 AB가 ΓΔ의 부분이라고 가정되어 있으므로, 따라서 AB가 ΗΖ의 어떤 부분인 것과 동일하게 ΓΔ의 부분이다.
ὃ ἄρα μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ·
그러므로 ΗΖ는 ΓΔ와 같다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΓΖ·
공통인 ΓΖ를 빼자.
λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσος.
그러면 남은 ΗΓ는 남은 ΖΔ와 같다.
καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσος δὲ ὁ ΗΓ τῷ ΖΔ, ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἀλλὰ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
그리고 AE가 ΓΖ의 어떤 부분인 것과 동일하게 EB도 ΗΓ의 동일한 부분이고, ΗΓ는 ΖΔ와 같으므로, 따라서 AE가 ΓΖ의 어떤 부분인 것과 동일하게 EB도 ΖΔ의 동일한 부분이다. 그런데 AE가 ΓΖ의 어떤 부분인 것과 동일하게 AB도 ΓΔ의 동일한 부분이다.
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ·
그러므로 남은 EB도 남은 ΖΔ의 동일한 부분이며, 이는 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대해 갖는 것과 같은 부분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.