§7.prop.4ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.
任何数对于任何数，较小之数对于较大之数，要么是一个部分，要么是若干部分。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, ΒΓ, καὶ ἔστω ἐλάσσων ὁ ΒΓ·
设有两个数 A、BΓ，且设较小的是 BΓ。
λέγω, ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.
我且声称，BΓ 要么是 A 的一个部分，要么是若干部分。
οἱ Α, ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
因为，A、BΓ 要么互为素数，要么不互为素数。
ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
首先，设 A、BΓ 互为素数。
διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέρος τι τοῦ Α· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.
μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους·
在把 BΓ 分割为其中的单位后，BΓ 中的每一个单位都将是 A 的某一个部分；因此 BΓ 是 A 的若干部分。 接着，设 A、BΓ 不互为素数。
ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
那么 BΓ 要么度量 A，要么不度量（A）。
εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, ΒΓ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α·
如果 BΓ 度量 A，那么 BΓ 是 A 的一个部分。 但如果不度量，设取 A、BΓ 的最大公度为 Δ，并将 BΓ 分割为与 Δ 相等的 BE、EZ、ZΓ。 既然 Δ 度量 A，那么 Δ 是 A 的一个部分。
ἴσος δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ· καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ τοῦ Α μέρος ἐστίν· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.
ἅπας ἄρα ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη·
而 Δ 等于 BE、EZ、ZΓ 中的每一个，所以 BE、EZ、ZΓ 中的每一个也都是 A 的一个部分；因此 BΓ 是 A 的若干部分。 所以，任何数对于任何数，较小之数对于较大之数，要么是一个部分，要么是若干部分。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
§7.prop.5ἐὰν ἀριθμός ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.
如果一个数是另一个数的一个部分，而另一个数也是另一个数的相同部分，那么两者之和也是两者之和的相同部分，这与一个数对另一个数所占的部分相同。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ·
因为，设数 A 是 BΓ 的一个部分，另一个数 Δ 也是另一个数 EZ 的相同部分，这与 A 对 BΓ 所占的部分相同。
λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ.
ἐπεὶ γάρ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ·
我且声称，两者之和 A、Δ 也是两者之和 BΓ、EZ 的相同部分，这与 A 对 BΓ 所占的部分相同。 因为，既然 A 是 BΓ 的什么部分，Δ 也是 EZ 的相同部分，那么在 BΓ 中与 A 相等的数的个数，就与在 EZ 中与 Δ 相等的数的个数相同。 设把 BΓ 分割为与 A 相等的 BH、HΓ，把 EZ 分割为与 Δ 相等的 EΘ、ΘZ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ, καὶ οἱ ΒΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς Α, Δ ἴσοι.
那么 BH、HΓ 的个数将等于 EΘ、ΘZ 的个数。 既然 BH 等于 A，且 EΘ 等于 Δ，所以 BH、EΘ 也等于 A、Δ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΗΓ, ΘΖ τοῖς Α, Δ. ὅσοι ἄρα ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΓ, ΕΖ ἴσοι τοῖς α, Δ. ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ, ΕΖ συναμφοτέρου τοῦ Α, Δ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ·
由于同样的原因，HΓ、ΘZ 也等于 A、Δ。 因此，在 BΓ 中与 A 相等的数的个数，就与在 BΓ、EZ 中与 α、Δ 相等的数的个数相同。 所以，BΓ 是 A 的多少倍，两者之和 BΓ、EZ 也就是两者之和 A、Δ 的多少倍。 因此，A 是 BΓ 的什么部分，两者之和 A、Δ 也就是两者之和 BΓ、EZ 的相同部分。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。