§7.prop.4ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.
任意の数は任意の数に対して、より小さいものはより大きいものの、部分（単数）であるか、あるいは複数部分である。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, ΒΓ, καὶ ἔστω ἐλάσσων ὁ ΒΓ·
二つの数 A, BΓ があり、BΓ はより小さいものとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.
私は、BΓ は A の部分であるか、あるいは複数部分であると主張する。
οἱ Α, ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
なぜなら、A, BΓ は互いに素であるか、そうでないかのいずれかである。
ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
まず、A, BΓ は互いに素であるとせよ。
διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέρος τι τοῦ Α·
BΓ がそれ自身の中にある単位に分割されると、BΓ の中にある個々の単位は A のある部分となる。
ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.
μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους·
したがって BΓ は A の複数部分である。 次に、A, BΓ は互いに素ではないとせよ。
ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
すると、BΓ は A を測るか、あるいは測らないかのいずれかである。
εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, ΒΓ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α·
もし BΓ が A を測るならば、BΓ は A の部分である。 もし測らないならば、A, BΓ の最大公約数 Δ を取るものとし、BΓ を Δ に等しい BE, EZ, ZΓ に分割せよ。 そして、Δ は A を測るのであるから、Δ は A の部分である。
ἴσος δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ·
そして、Δ は BE, EZ, ZΓ のそれぞれに等しい。
καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ τοῦ Α μέρος ἐστίν·
したがって、BE, EZ, ZΓ のそれぞれもまた A の部分である。
ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.
ἅπας ἄρα ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη·
したがって、BΓ は A の複数部分である。 したがって、任意の数は任意の数に対して、より小さいものはより大きいものの、部分であるか、あるいは複数部分である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.5ἐὰν ἀριθμός ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.
もしある数がある数の部分であり、別の数もまた別の数のそれと同じ部分であるならば、それらを合わせたものもまた、それらを合わせたものの同じ部分となるであろう。 それは、一方が一方に対してそうであるのと同じ部分である。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ·
なぜなら、数 A は BΓ の部分であるとし、別の数 Δ も別の数 EZ の、A が BΓ に対するのと同じ部分であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ.
ἐπεὶ γάρ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ·
私は、合わせた A, Δ も、合わせた BΓ, EZ の同じ部分であると主張する。 それは、A が BΓ に対するのと同じである。 なぜなら、A が BΓ に対する部分と同じ部分を、Δ も EZ に対して持っているので、BΓ の中にある A に等しい数の個数と、EZ の中にある Δ に等しい数の個数は等しい。 BΓ を A に等しい BH, HΓ に分割し、EZ を Δ に等しい EΘ, ΘZ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ, καὶ οἱ ΒΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς Α, Δ ἴσοι.
すると、 BH, HΓ の個数は EΘ, ΘZ の個数に等しくなる。 そして、BH は A に等しく、EΘ は Δ に等しいのであるから、したがって BH, EΘ も A, Δ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΗΓ, ΘΖ τοῖς Α, Δ. ὅσοι ἄρα ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΓ, ΕΖ ἴσοι τοῖς α, Δ. ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ, ΕΖ συναμφοτέρου τοῦ Α, Δ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ·
同じ理由により、HΓ, ΘZ も A, Δ に等しい。 したがって、BΓ の中にある A に等しい数の個数と、BΓ, EZ において α, Δ に等しいものの個数は等しい。 したがって、BΓ が A の何倍であるかと同じ倍数に、合わせた BΓ, EZ も合わせた A, Δ の倍数となっている。 したがって、A が BΓ の部分であるのと同じ部分に、合わせた A, Δ も合わせた BΓ, EZ の部分である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。