§7.prop.4ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.
임의의 수에 대하여 더 작은 수는 더 큰 수의 한 부분(단수)이거나 여러 부분(복수)이다.
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, ΒΓ, καὶ ἔστω ἐλάσσων ὁ ΒΓ·
두 개의 수 A, BΓ가 있고, BΓ가 더 작다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη.
나는 BΓ가 A의 한 부분이거나 여러 부분이라고 주장한다.
οἱ Α, ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ.
왜냐하면 A, BΓ는 서로 소이거나 서로 소가 아니기 때문이다.
ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
먼저 A, BΓ가 서로 소라고 하자.
διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέρος τι τοῦ Α·
BΓ가 그 안에 있는 단위들로 나뉘면, BΓ 안에 있는 각각의 단위는 A의 어떤 부분이 될 것이다.
ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.
μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους·
그러므로 BΓ는 A의 여러 부분이다. 다음으로 A, BΓ가 서로 소가 아니라고 하자.
ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
그러면 BΓ는 A를 측정하거나 측정하지 못하거나 둘 중 하나이다.
εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, ΒΓ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α·
만약 BΓ가 A를 측정한다면, BΓ는 A의 한 부분이다. 그러나 만약 측정하지 못한다면, A, BΓ의 최대공약수 Δ를 구하고, BΓ를 Δ와 같은 BE, EZ, ZΓ로 나누자. 그리고 Δ가 A를 측정하므로, Δ는 A의 한 부분이다.
ἴσος δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ·
그런데 Δ는 BE, EZ, ZΓ의 각각과 같다.
καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ τοῦ Α μέρος ἐστίν·
그러므로 BE, EZ, ZΓ의 각각도 A의 한 부분이다.
ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α.
ἅπας ἄρα ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη·
그러므로 BΓ는 A의 여러 부분이다. 그러므로 임의의 수에 대하여 더 작은 수는 더 큰 수의 한 부분이거나 여러 부분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.5ἐὰν ἀριθμός ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός.
만약 어떤 수가 어떤 수의 한 부분이고, 다른 수가 다른 수의 동일한 부분이라면, 둘을 합한 것도 둘을 합한 것의 동일한 부분일 것이다. 이는 한 수가 다른 한 수에 대해 갖는 것과 같은 부분이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τοῦ ΒΓ μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ·
수 A는 BΓ의 한 부분이고, 다른 수 Δ도 다른 수 EZ의 동일한 부분이라고 하자. 이는 A가 BΓ에 대해 갖는 것과 같은 부분이다.
λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ.
ἐπεὶ γάρ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ, ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ, ΗΓ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ, ΘΖ·
나는 둘을 합한 A, Δ도 둘을 합한 BΓ, EZ의 동일한 부분이라고 주장한다. 이는 A가 BΓ에 대해 갖는 것과 같은 부분이다. 왜냐하면 A가 BΓ에 대해 갖는 부분과 동일한 부분을 Δ도 EZ에 대해 가지므로, BΓ 안에 있는 A와 같은 수들의 개수만큼 EZ 안에도 Δ와 같은 수들이 있기 때문이다. BΓ를 A와 같은 BH, HΓ로 나누고, EZ를 Δ와 같은 EΘ, ΘZ로 나누자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ, ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α, ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ, καὶ οἱ ΒΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς Α, Δ ἴσοι.
그러면 BH, HΓ의 개수는 EΘ, ΘZ의 개수와 같을 것이다. 그리고 BH가 A와 같고, EΘ가 Δ와 같으므로, 따라서 BH, EΘ도 A, Δ와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΗΓ, ΘΖ τοῖς Α, Δ. ὅσοι ἄρα ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Α, τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΓ, ΕΖ ἴσοι τοῖς α, Δ. ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ, ΕΖ συναμφοτέρου τοῦ Α, Δ. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ Α, Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ, ΕΖ·
같은 이유로 HΓ, ΘZ도 A, Δ와 같다. 그러므로 BΓ 안에 있는 A와 같은 수들의 개수만큼 BΓ, EZ 안에도 α, Δ와 같은 것들이 있다. 그러므로 BΓ가 A의 몇 배인 것과 동일하게, 둘을 합한 BΓ, EZ도 둘을 합한 A, Δ의 그 배수가 된다. 그러므로 A가 BΓ의 한 부분인 것과 동일하게, 둘을 합한 A, Δ도 둘을 합한 BΓ, EZ의 동일한 부분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.