§7.prop.3τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
给定三个互不为素数的数，求它们的最大公度。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ α, Β, Γ·
设给定的三个互不为素数的数为 A、B、Γ。
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
这就需要求出 A、B、Γ 的最大公度。
εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ·
设取其中两个数 A、B 的最大公度为 Δ。
ὁ δὴ Δ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
那么 Δ 要么度量 Γ，要么不度量（Γ）。
μετρείτω πρότερον·
首先，设它度量（Γ）。
μετρεῖ δὲ καὶ τοὺς Α, Β· ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ·
但它也度量 A、B，所以 Δ 度量 A、B、Γ。
ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
因此 Δ 是 A、B、Γ 的公度。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
我且声称，它也是最大的公度。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Δ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β ἄρα μετρήσει·
因为，如果 Δ 不是 A、B、Γ 的最大公度，就会有某个比 Δ 大的数度量数 A、B、Γ。 设它能度量它们，并设它为 E。
καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
既然 E 度量 A、B、Γ，所以它也将度量 A、B，从而也将度量 A、B 的最大公度。
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ· ὁ Ε ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
而 A、B 的最大公度是 Δ，所以 E 度量 Δ，即较大的数度量较小的数。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Δ·
因此，没有任何比 Δ 大的数能度量数 A、B、Γ。
ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον.
所以 Δ 是 A、B、Γ 的最大公度。
μὴ μετρείτω δὴ ὁ Δ τὸν Γ·
接下来，设 Δ 不度量 Γ。
λέγω πρῶτον, ὅτι οἱ Γ, Δ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
我首先声称，Γ、Δ 互不为素数。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
因为，既然 A、B、Γ 互不为素数，就会有某个数度量它们。
ὁ δὴ τοὺς Α, Β, Γ μετρῶν καὶ τοὺς Α, Β μετρήσει, καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸν Δ μετρήσει·
而度量 A、B、Γ 的数也将度量 A、B，从而也将度量 A、B 的最大公度 Δ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· τοὺς Δ, Γ ἄρα ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει·
但它也度量 Γ，所以有某个数度量数 Δ、Γ。
οἱ Δ, Γ ἄρα οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
因此 Δ、Γ 互不为素数。
εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, ὁ δὲ Δ τοὺς Α, Β μετρεῖ, καὶ ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ·
设取它们的最大公度为 E。 既然 E 度量 Δ，而 Δ 度量 A、B，所以 E 也度量 A、B。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ·
但它也度量 Γ，所以 E 度量 A、B、Γ。
ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον.
因此 E 是 A、B、Γ 的公度。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
我且声称，它也是最大的公度。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Ε τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Ε. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ζ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β μετρεῖ·
因为，如果 E 不是 A、B、Γ 的最大公度，就会有某个比 E 大的数度量数 A、B、Γ。 设它能度量它们，并设它为 Z。
καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
既然 Z 度量 A、B、Γ，所以它也度量 A、B，从而也将度量 A、B 的最大公度。
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ· ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ·
而 A、B 的最大公度是 Δ，所以 Z 度量 Δ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ· ὁ Ζ ἄρα τοὺς Δ, Γ μετρεῖ· καὶ τὸ τῶν Δ, Γ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
但它也度量 Γ，所以 Z 度量 Δ、Γ，从而也将度量 Δ、Γ 的最大公度。
τὸ δὲ τῶν Δ, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Ε· ὁ Ζ ἄρα τὸν Ε μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
而 Δ、Γ 的最大公度是 E，所以 Z 度量 E，即较大的数度量较小的数。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Ε·
因此，没有任何比 E 大的数能度量数 A、B、Γ。
ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον·
所以 E 是 A、B、Γ 的最大公度。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。