§7.prop.1δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.
设有两个不相等的数，从较大数中连续减去较小数，如果每次余下的数都不能量尽其前一数，直到剩下一个单位为止，那么最初的这两个数互素。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρείτω τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς·
因为，从 AB、ΓΔ 两个数中的较大数连续减去较小数，设每次余下的数都不能量尽其前一数，直到剩下一个单位为止。
λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τουτέστιν ὅτι τοὺς ΑΒ, ΓΔ μονὰς μόνη μετρεῖ.
我声称，AB、ΓΔ 互素，也就是说，只有单位能度量 AB、ΓΔ。
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
因为，如果 AB、ΓΔ 不互素，则将有某个数量尽它们。
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε·
设它能度量它们，并设它为 E。
καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΑ, ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΗΓ, ὁ δὲ ΗΓ τὸν ΖΘ μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν ΘΑ.
ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΖ μετρεῖ καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΒΖ μετρεῖ·
设 ΓΔ 量尽 BZ 并留下比自身小的 ZA，AZ 量尽 ΔH 并留下比自身小的 HΓ，HΓ 量尽 ZΘ 并留下单位 ΘA。 因此，既然 E 度量 ΓΔ，而 ΓΔ 度量 BZ，所以 E 也度量 BZ。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσει.
但是它也度量整体 BA，所以它也将度量余下的 AZ。
ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρεῖ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΔΗ μετρεῖ·
但是 AZ 度量 ΔH，所以 E 也度量 ΔH。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΗ μετρήσει.
但是它也度量整体 ΔΓ，所以它也将度量余下的 ΓH。
ὁ δὲ ΓΗ τὸν ΖΘ μετρεῖ· καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΖΘ μετρεῖ·
但是 ΓH 度量 ZΘ，所以 E 也度量 ZΘ。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ· καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει ἀριθμὸς ὤν·
但是它也度量整体 ZA，所以它也将度量余下的单位 AΘ，尽管它是一个数。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς μετρήσει τις ἀριθμός·
因此，没有任何数能度量数 AB、ΓΔ。
οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
所以 AB、ΓΔ 互素。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
§7.prop.2δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
给定两个互不为素数的数，求它们的最大公度。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΓΔ. δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
设给定的两个互不为素数的数为 AB、ΓΔ。 这就需要求出 AB、ΓΔ 的最大公度。
εἰ μὲν οὖν ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν, ὁ ΓΔ ἄρα τῶν ΓΔ, ΑΒ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
因此，如果 ΓΔ 度量 AB，且它也度量自身，那么 ΓΔ 就是 ΓΔ、AB 的公度。
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον·
显而易见，它也是最大的公度。
οὐδεὶς γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ μετρήσει.
因为没有比 ΓΔ 更大的数能量尽 ΓΔ。
εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ, τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος λειφθήσεταί τις ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ.
但如果 ΓΔ 不能量尽 AB，在从 AB、ΓΔ 的较大数中连续减去较小数时，将会余下某个数量尽其前一数。
μονὰς μὲν γὰρ οὐ λειφθήσεται· εἰ δὲ μή, ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
因为单位是不会余下的；否则，AB、ΓΔ 将会互素，这与假设不符。
λειφθήσεταί τις ἄρα ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ.
因此，将会余下某个数量尽其前一数。
καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΕ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΕΑ, ὁ δὲ ΕΑ τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΓ, ὁ δὲ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρείτω.
设 ΓΔ 度量 BE 并留下比自身小的 EA，EA 度量 ΔZ 并留下比自身小的 ZΓ，且设 ΓZ 度量 AE。
ἐπεὶ οὖν ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ, ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει·
因此，既然 ΓZ 度量 AE，而 AE度量 ΔZ，所以 ΓZ 也将度量 ΔZ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΔ μετρήσει.
但它也度量自身，所以它也将度量整体 ΓΔ。
ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ· καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ·
但是 ΓΔ 度量 BE，所以 ΓZ 也度量 BE。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΑ· καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΒΑ μετρήσει·
但它也度量 EA，所以它也将度量整体 BA。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΓΔ· ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ.
但它也度量 ΓΔ，所以 ΓZ 度量 AB、ΓΔ。
ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
因此，ΓZ 是 AB、ΓΔ 的公度。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
我且声称，它也是最大的公度。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ ΓΖ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Η. καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ, καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ·
因为，如果 ΓZ 不是 AB、ΓΔ 的最大公度，就会有某个比 ΓZ 大的数度量数 AB、ΓΔ。 设它能度量它们，并设它为 H。 既然 H 度量 ΓΔ，而 ΓΔ 度量 BE，所以 H 也度量 BE。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΕ μετρήσει.
但是它也度量整体 BA，所以它也将度量余下的 AE。
ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ· καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει·
但是 AE 度量 ΔZ，所以 H 也将度量 ΔZ。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
但是它也度量整体 ΔΓ，所以它也将度量余下的 ΓZ，即较大的数度量较小的数。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
这是不可能的。
οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ ΓΖ·
因此，没有任何比 ΓZ 大的数能度量数 AB、ΓΔ。
ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον·
所以 ΓZ 是 AB、ΓΔ 的最大公度。
. Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει·
系理由此显然可见，如果一个数量尽两个数，它也将量尽它们的最大公度。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。