§7.prop.3τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
互いに素ではない三つの与えられた数について、それらの最大公約数を見出すこと。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ α, Β, Γ·
与えられた互いに素ではない三つの数を A, B, Γ とせよ。
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
A, B, Γ の最大公約数を見出さねばならない。
εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ·
なぜなら、二つの数 A, B の最大公約数 Δ を取るものとせよ。
ὁ δὴ Δ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
すると、Δ は Γ を測るか、あるいは測らないかのどちらかである。
μετρείτω πρότερον·
まず測るものとせよ。
μετρεῖ δὲ καὶ τοὺς Α, Β·
しかし、それは A, B も測る。
ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ·
したがって、Δ は A, B, Γ を測る。
ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
したがって、Δ は A, B, Γ の公約数である。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
私は、それが最大でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Δ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β ἄρα μετρήσει·
なぜなら、もし Δ が A, B, Γ の最大公約数でないならば、Δ より大きいある数が A, B, Γ という数を測るであろう。 それを測るものとし、それを E とせよ。 さて、 E は A, B, Γ を測るのであるから、したがって A, B も測るであろう。
καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
したがって、A, B の最大公約数をも測るであろう。
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ·
しかし、A, B の最大公約数は Δ である。
ὁ Ε ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
したがって、E は Δ を、より大きい数でありながらより小さい数であるのに測ることになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Δ·
したがって、Δ より大きいようないかなる数も A, B, Γ という数を測ることはないであろう。
ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον.
したがって Δ は A, B, Γ の最大公約数である。
μὴ μετρείτω δὴ ὁ Δ τὸν Γ·
次に、Δ は Γ を測らないものとせよ。
λέγω πρῶτον, ὅτι οἱ Γ, Δ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
私はまず、Γ, Δ が互いに素でないと主張する。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
なぜなら、A, B, Γ は互いに素でないのであるから、ある数がそれらを測るであろう。
ὁ δὴ τοὺς Α, Β, Γ μετρῶν καὶ τοὺς Α, Β μετρήσει, καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸν Δ μετρήσει·
そして、A, B, Γ を測るものは A, B も測るであろうから、A, B の最大公約数である Δ も測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ·
しかし、それは Γ も測る。
τοὺς Δ, Γ ἄρα ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει·
したがって、Δ, Γ という数をある数が測るであろう。
οἱ Δ, Γ ἄρα οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
したがって、Δ, Γ は互いに素ではない。
εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, ὁ δὲ Δ τοὺς Α, Β μετρεῖ, καὶ ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ·
そこで、それらの最大公約数 E を取るものとせよ。 そして、E は Δ を測り、Δ は A, B を測るのであるから、したがって E も A, B を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ·
しかし、それは Γ も測る。
ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ·
したがって、E は A, B, Γ を測る。
ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον.
したがって、E は A, B, Γ の公約数である。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
私は、それが最大でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Ε τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Ε. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ζ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β μετρεῖ·
なぜなら、もし E が A, B, Γ の最大公約数でないならば、ある数が A, B, Γ という数を E より大きいものでありながら測るであろう。 それを測るものとし、それを Z とせよ。 そして、Z は A, B, Γ を測るのであるから、A, B も測る。
καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
したがって、A, B の最大公約数をも測るであろう。
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ·
しかし、A, B の最大公約数は Δ である。
ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ·
したがって Z は Δ を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ·
しかし、それは Γ も測る。
ὁ Ζ ἄρα τοὺς Δ, Γ μετρεῖ·
したがって、Z は Δ, Γ を測る。
καὶ τὸ τῶν Δ, Γ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
したがって、Δ, Γ の最大公約数をも測るであろう。
τὸ δὲ τῶν Δ, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Ε·
しかし、Δ, Γ の最大公約数は E である。
ὁ Ζ ἄρα τὸν Ε μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
したがって、Z は E を、より大きい数がより小さい数を測ることになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Ε·
したがって、E より大きいようないかなる数も A, B, Γ という数を測ることはないであろう。
ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον·
したがって E は A, B, Γ の最大公約数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。